ｓｌ’（ｕ）^2＝１−ｓｌ（ｕ）^4

　　ｓｌ”（ｕ）＝−ｓｌ（ｕ）^3

とおくと，加法定理：任意の実数ｕ，ｖに対して

　　ｓｌ（ｕ＋ｖ）＝｛ｓｌ（ｕ）ｓｌ’（ｖ）＋ｓｌ（ｖ）ｓｌ’（ｕ）｝／｛１＋ｓｌ^2（ｕ）ｓｌ^2（ｖ）｝

が成り立つ．

　複素数に拡張しても成り立つためには

　　ｓｌ（ｉｕ）＝ｉｓｌ（ｕ），ｓｌ’（ｉｕ）＝ｓｌ（ｕ）

　　ｓｌ（ｚ）＝ｓｌ（ｕ＋ｖｉ）＝｛ｓｌ（ｕ）ｓｌ’（ｉｖ）＋ｓｌ（ｖ）ｓｌ’（ｉｕ）｝／｛１＋ｓｌ^2（ｕ）ｓｌ^2（ｖｉ）｝＝

＝｛ｓｌ（ｕ）ｓｌ’（ｖ）＋ｉｓｌ（ｖ）ｓｌ’（ｕ）｝／｛１−ｓｌ^2（ｕ）ｓｌ^2（ｖ）｝

　　ｓｌ（ｉｚ）＝ｉｓｌ（ｚ），ｓｌ’（ｉｚ）＝ｓｌ（ｉｚ）

と定義する．

　このとき，加法定理：任意の複素数ｕ，ｖに対して

　　ｓｌ（ｕ＋ｖ）＝｛ｓｌ（ｕ）ｓｌ’（ｖ）＋ｓｌ（ｖ）ｓｌ’（ｕ）｝／｛１＋ｓｌ^2（ｕ）ｓｌ^2（ｖ）｝

が成り立つ．

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【１】レムニスケートサインとワイエルシュトラスのペー関数の関係

　　ｓｌ（ｚ）＝−２ｐ1（ｚ）／ｐ1’（ｚ）

　　ｓｌ’（ｚ）＝（４ｐ1（ｚ）^2−１）／（４ｐ1（ｚ）^2＋１）

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