ワイエルシュトラスのペー関数の加法公式には重要な幾何学的解釈がある．

　ｐ（ｚ1＋ｚ2）＝−ｐ（ｚ1）−ｐ（ｚ2）＋１／４・｛（ｐ’（ｚ1）−ｐ’（ｚ2））／）ｐ（ｚ1）−ｐ（ｚ2））｝^2

　ｐ（ｚ1）＋ｐ（ｚ2）＋ｐ（ｚ1＋ｚ2）＝１／４・｛（ｐ’（ｚ1）−ｐ’（ｚ2））／（ｐ（ｚ1）−ｐ（ｚ2））｝^2

ａ＝｛（ｐ’（ｚ1）−ｐ’（ｚ2））／）ｐ（ｚ1）−ｐ（ｚ2））｝

ｂ＝｛（ｐ（ｚ1）ｐ’（ｚ2）−ｐ’（ｚ1）ｐ（ｚ2））／（ｐ（ｚ1）−ｐ（ｚ2））｝

ｘ1＝ｐ（ｚ1），ｘ2＝ｐ（ｚ2），ｘ3＝ｐ（ｚ1＋ｚ2）

（ａｘ＋ｂ）^2＝４ｘ^2−ｇ2ｘ−ｇ3の３根は

ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝ａ^2／４

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］ｐ（ω1）＝ｅ1，ｐ｛（ω1＋ω2）／２｝＝ｅ2，ｐ（ω2）＝ｅ3とする．ｐ（ｕ）＝ｅ1またはｅ2またはｅ3のとき，ｐ’（ｕ）＝０

ｐ’（ｕ）^2＝（ｐ（ｕ）−ｅ1）（ｐ（ｕ）−ｅ2）（ｐ（ｕ）−ｅ3）

［２］ｐ’（ｕ）＝ｐはｐ’^2＝４ｐ^3−ｇ2ｐ−ｇ3を満たす．

４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3＝（ｘ−ｅ1）（ｘ−ｅ2）（ｘ−ｅ3）

［３］判別式△＝１６（ｅ1−ｅ2）^2（ｅ1−ｅ3）^2（ｅ2−ｅ3）^2

ｅ1＋ｅ2＋ｅ3＝０

ｅ1ｅ2＋ｅ2ｅ3＋ｅ3ｅ1＝−１／４・ｇ2

ｅ1ｅ2ｅ3＝１／４・ｇ3

△＝ｇ2^3−２７ｇ3^2

［４］代数的加法性をもつことを示すために

　　ｆ（ｕ）＝ｐ’（ｕ）−ａｐ（ｕ）−ｂ

　　ｆ（ｕ1）＝ｆ（ｕ2）＝０

　　Ｐ（ｕ1）＝Ｐ1，Ｐ（ｕ2）＝Ｐ2

　　Ｐ’（ｕ1）＝Ｐ1’，Ｐ（ｕ2）＝Ｐ2’とおく．

　　ａＰ1＋ｂ＝Ｐ1’，ａＰ2＋ｂ＝Ｐ2’が成立する．

ここで，

　　Ｐ（ｕ1＋ｕ2）＝Ｐ3，Ｐ’（ｕ1＋ｕ2）＝Ｐ3’とおけば

ｐ’（ｕ）が奇関数であることから

　　ａＰ3＋ｂ＝−Ｐ3’

　　４ｐ’^2＝ｐ^3−ｇ2ｐ−ｇ3を用いれば，

　　（ａｘ＋ｂ）^2＝ｐ^3−ｇ2ｐ−ｇ3

はｘ＝Ｐ1，ｘ＝Ｐ2ｘ＝Ｐ2を解にもつ．

Ｐ1＋Ｐ2＋Ｐ3＝ａ^2／４

Ｐ1Ｐ2＋Ｐ1Ｐ3＋Ｐ2Ｐ3＝−ａｂ／２−ｇ2／４

Ｐ1Ｐ2Ｐ3＝ｂ^2／４＋ｇ3／４

ａ＝（Ｐ1’−Ｐ2’）／（Ｐ1−Ｐ2）

ｂ＝（Ｐ1Ｐ2’−Ｐ1’Ｐ2）／（Ｐ1−Ｐ2）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ｐ（ｕ1＋ｕ2）＝−ｐ（ｕ1）−ｐ（ｕ2）＋１／４・｛（ｐ’（ｕ1）−ｐ’（ｕ2））／（ｐ（ｕ1）−ｐ（ｕ2））｝^2

が成り立つ．

　　Ｐ（ｕ1）＝Ｐ1，Ｐ（ｕ2）＝Ｐ2，Ｐ（ｕ1＋ｕ2）＝Ｐ3に対して

（Ｐ1＋Ｐ2＋Ｐ3）（４Ｐ1Ｐ2Ｐ3−ｇ3）＝（Ｐ1Ｐ2＋Ｐ1Ｐ3＋Ｐ2Ｐ3＋ｇ2／４）^2

が成り立つ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝