【２】∫1/(1-x^6)^(1/2)dxの場合

　ついでに

　　∫1/(1-x^6)^(1/2)dx

について考えてみたい．変数変換

　　ｘ＝１／√ｚ，ｄｚ＝−ｚ^(-3/2)／２ｄｚ

により

　　∫(x,∞)1/(4z^3-4)^(1/2)dz

となる．これは慣用の記号でｇ2＝０，ｇ3＝４のワイエルシュトラスの標準形である．

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　ワイエルシュトラスのペー関数ｐ（ｕ）を単にｐと略記すると

［１］微分方程式は

　　（ｐ’）^2＝４ｐ^3−４

　　ｐ”＝６ｐ^2

　　ｐ^(3)＝１２ｐｐ’

　　ｐ^(4)＝１２０ｐ^3−４８

［２］加法定理

　　ｐ（ｕ＋ｖ）＝−ｐ（ｕ）−ｐ（ｖ）＋１／４｛（ｐ’（ｕ｝−ｐ’（ｖ｝）／（ｐ（ｕ｝−ｐ（ｖ｝）｝^2

は，ｖ→ｕの極限で倍角公式

　　ｐ（２ｕ）＝−２ｐ（ｕ）＋１／４｛ｐ”（ｕ｝／ｐ’（ｕ｝｝^2

　＝−２ｐ＋１／４・（６ｐ^2）^2／（４ｐ^3−４）

　＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）

を得る．

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１

より，ｐ=1+√3=ｚ

　　ｘ＝１／√ｚ＝((-1+√3)/2)^1/2

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１

より，ｐ=1+√3=ｚ（→作図可能）．

　次に

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１＋√３

を解く．解析解はとても長くなる．近似解のみを示すと

　　ｐ＝１０．８５１７

　引き続き

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１０，８５１７

を解いて，ｐ＝４３．４０２１．

　すなわち，この曲線は定木とコンパスで弧長が２等分，４等分，８等分できることがわかったが，３等分点は

　　ｐ（ｕ）＝２＋２・２^1/3＋^2/3

で作図不可能であることも示される．

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