■算術幾何平均とテータ関数（その８）
（その５）において
Ｌ（ａ，１）＝Ｌ（ｃｏｓθ，１）＝ｓｉｎθ／θ＝
＝（ａ^2−１）^1/2／ｌｏｇ（ａ＋（ａ^2−１）^1/2）
∫ｄｘ／（ｘ^2−１）^1/2＝ｌｏｇ（ｘ＋（ｘ^2−１）^1/2）
（ｌｏｇ（ｘ＋（ｘ^2−１）^1/2）’＝１／（ｘ^2−１）^1/2
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ｔ＝ｘ＋（ｘ^2−１）^1/2とおく．
ｘ＝（ｔ^2＋１）／２ｔ，ｄｘ＝（ｔ^2−１）／２ｔ^2ｄｔ
（ｘ^2−１）^1/2＝ｔ−ｘ＝（ｔ^2−１）／２ｔ
したがって，
∫ｄｘ／（ｘ^2−１）^1/2＝∫２ｔ／（ｔ^2−１）・（ｔ^2−１）／２ｔ^2ｄｔ
＝∫ｄｔ／ｔ＝ｌｏｇｔ＝ｌｏｇ（ｘ＋（ｘ^2−１）^1/2）
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したがって，
Ｌ（ａ，１）＝Ｌ（ｃｏｓθ，１）＝ｓｉｎθ／θ＝
＝（ａ^2−１）^1/2／ｌｏｇ（ａ＋（ａ^2−１）^1/2）
＝（ａ^2−１）^1/2／∫(1,a)ｄｘ／（ｘ^2−１）^1/2
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