(1)２数ａ0，ｂ0をとり，ａ1＝（ａ0＋ｂ0）／２，ｂ1＝√ａ1ｂ0＝√ｂ0（ａ0＋ｂ0）／２を計算する．次に，ａ2＝（ａ1＋ｂ1）／２，ｂ2＝√ａ2ｂ1とする．ｂnを計算するときａn-1でなく最新のａnを使っていることに注意されたい．

　すると，ａnとｂnは急速に同じ極限Ｍ（ａ，ｂ）に到達する．このとき，極限関数はＭ（ａ，ｂ）＝

（ｂ^2−ａ^2）^(1/2)／ａｒｃｃｏｓ（ａ／ｂ）　　　　（０≦ａ＜ｂのとき）

ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝ｂのとき）

（ａ^2−ｂ^2）^(1/2)／ａｒｃｃｏｓｈ（ａ／ｂ）　　　（ｂ＜ａのとき）

で与えられる（パッフ）．

(2)０≦ａ0＜ｂ0なる２数ａ0，ｂ0をとり，ａ1＝｛ａ0（ａ0＋ｂ0）／２｝^(1/2)，ｂ1＝｛ｂ0（ａ0＋ｂ0）／２｝^(1/2)を計算する．これを繰り返すとａnとｂnは急速に同じ極限Ｍ（ａ，ｂ）に到達する（カールソン）．

　　Ｍ（ａ，ｂ）＝｛（ｂ^2−ａ^2）／２ｌｏｇ（ａ／ｂ）｝^(1/2)

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