アイゼンシュタイン級数

　　Ｅk（ｚ）＝Σ１／（ｍｚ＋ｎ）^k

　　Ｅk(z)＝−Ｂk／２ｋ＋�買ﾐk-1（ｎ）ｑ^n

　任意のモジュラー形式はＥ4(z)とＥ6(z)の多項式である．

　　ｆ（ｚ）＝Ｆ（Ｅ4(z)，Ｅ6(z)）

これは相当に驚くべき定理である．

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　一般に，４以上の偶数ｌに対して

　　Ｅk（ｚ）＝−Ｂk／２ｋ＋Σσk-1（ｎ）ｅｘｐ（２πｉｎｚ）

と定めると，重さｋの保型性をもっている．

　　Ｅk（−１／ｚ）＝ｚ^kＥk（ｚ）

　たとえば，アイゼンシュタイン級数（重さ６）を考える．

　　Ｅ6（ｚ）＝−１／５０４＋Σσ5（ｎ）ｅｘｐ（２πｉｎｚ）

　重さ６の保型性をもっている．

　　Ｅ6（−１／ｚ）＝ｚ^6Ｅ6（ｚ）

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　　Ｅ4（ｚ）＝１／２４０＋Σσ3（ｎ）ｅｘｐ（２πｉｎｚ）

　　Ｅ6（ｚ）＝−１／５０４＋Σσ5（ｎ）ｅｘｐ（２πｉｎｚ）

は無限遠零点をもたない．

　　Ｅ4（ｉ∞）＝１／２４０

　　Ｅ6（ｉ∞）＝−１／５０４

　ただし，

　　｛（２４０Ｅ4）^3−（５０４Ｅ6）^2｝／１７２８＝Δ

　　Δ（ｚ）＝ｑΠ（１−ｑ^n)^24＝Στ（ｎ）ｑ^n

が成立していて，カスプ形式である．

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