ｍ層目の鋭角の内角を求めてみると

[1]正三角形

180/3

[2]正方形

180/4

180/4→sin180/4・3に等しい

[3]正五角形

180/5

180/5・2

[4]正六角形

180/6

180/6・3

180/6→sin180/6・5に等しい

[5]正七角形

180/7

180/7・3

180/7・2

[6]正八角形

180/8

180/8・3

180/8・3→sin180/8・5に等しい

180/8→sin180/8・7に等しい

[7]正九角形

180/9

180/9・3

180/9・4

180/9・2

[8]正十角形

180/10

180/10・3

180/10・5

180/10・3→sin180/10・7に等しい

180/10→sin180/10・9に等しい

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正弦の和公式を調べてみると

r=1からnまでの2乗和は、

Σ(sinrx)^2=n/2-cos(n+1)xsin(nx)/2sinx

とある.

次は正弦の積公式

　　Πｓｉｎｋπ／ｎ＝ｓｉｎπ／ｎ・・・ｓｉｎ（ｎ−１）π／ｎ

　　　　　　　　　　＝ｎ／２^(n-1)

n=3のとき、3/4　(OK)

n=4のとき、4/8　(OK)

n=6のとき、6/32　(OK)

　　Πｓｉｎ（θ＋ｋπ／ｎ） k=1-(n-1)

　＝ｓｉｎ（θ＋π／ｎ）・・・ｓｉｎ（θ＋（ｎ−１）π／ｎ）

　＝ｓｉｎｎθ／２^(n-1)

　ここで，θ→θ−π／２ｎと置き換えれば

　　Πｓｉｎ（θ＋（２ｋ−１）π／2ｎ）＝ｃｏｓｎθ／２^(n-1) k=1-n

θ＝０とおけば

　　Πｓｉｎ（（２ｋ−１）π／2ｎ）＝１／２^(n-1) k=1-n

また，θ＝π／２とおけば

　　Πｃｏｓ(2ｋ-1)π／2ｎ＝cos（ｎπ／２）／２^(n-1) k=1-n

などを導き出すことができる．

Π4(sinrx)^2を求めてみたい。

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ｎが奇数n=2m+1のとき、

　　Πｓｉｎｋπ／ｎ＝ｓｉｎπ／ｎ・・・ｓｉｎ（ｎ−１）π／ｎ

　　　　　　　　　　＝ｎ／２^(n-1)

ｓｉｎπ／ｎ＝ｓｉｎ（ｎ−１）π／ｎより、これを4^m倍すればよい

Π4(sinrx)^2=ｎ

調和平均はｎの(n-1)/2乗根

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ｎが偶数n=2mのとき、k=1-m、

　　Πｓｉｎ（（２ｋ−１）π／2m）＝１／２^(m-1)

　　Πｓｉｎ^2（（２ｋ−１）π／ｎ）＝１／２^2(m-1)=1/2^(n-2)

Π4(sinrx)^2=4^m/２^(n-2)=4

調和平均は4のn/2乗根

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