ｍ層目の鋭角の内角を求めてみると

[1]正三角形

180/3

[2]正方形

180/4

180/4

[3]正五角形

180/5

180/5・2

[4]正六角形

180/6

180/6・3

180/6

[5]正七角形

180/7

180/7・3

180/7・2

[6]正八角形

180/8

180/8・3

180/8・3

180/8

[7]正九角形

180/9

180/9・3

180/9・4

180/9・2

[8]正十角形

180/10

180/10・3

180/10・5

180/10・3

180/10

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[7]正九角形

a=2sin180/9

b=2sin180/9・3

c=2sin180/9・4

c=2sin180/9・2

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sin180/9=sinx=y

a^2+b^2+c^2+d^2=4((sinx)^2+(2sinxcosx)^2+(-4sinx^3+3sinx)^2+(-8sinx^3cosx+4sinxcosx)^2)

=4(y^2+4y^2(1-y^2)+16y^6-24y^4+9y^2)+64y^6(1-y^2)-64y^4(1-y^2)+16y^2(1-y^2))

=4(16y^6-28y^4+14y^2)+4(-64y^8+64y^6-64y^4+64y^6+16y^2-16y^4)

=4(16y^6-28y^4+14y^2)+4(-64y^8+128y^6-80y^4+16y^2)

=4(-64y^8+144y^6-108y^4+30y^2)

z=cosx

sin9x=-y(256z^8-448z^6+240z^4-40z^2+1)=0

256z^8-448z^6+240z^4-40z^2+1

=256(1-y^2)^4-448(1-y^2)^3+240(1-y^2)^2-40(1-y^2)+1

256y^8-1024y^6+1536y^4-1024y^2+256

+448y^6-1344y^4+1344y^2-448

+240y^4-480y^2+240

+40y^2-39

=256y^8-576y^6+432y^4-120y^2+9

したがって、

a^2+b^2+c^2+d^2=9

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