今回のコラムでは

　　［参］Frederickson GN: Dissections: Plane and Fancy, Cambridge University Press, 1997

を参考にして，正五角形の切断と正方形への並べ替えについて考えてみます．正五角形はプラトンの平面充填形にはなりませんから，平行（定幅）な帯を用いた設計法（Plain strip technique）を採用します．

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【１】正五角形から正方形へ（11.6 Brodie's pentagon to square）

　正五角形と正方形の面積は等しい．１辺の長さが２の正五角形の面積は

　　５／ｔａｎ（π／５）＝（２５＋１０√５）^1/2

だから，同じ面積をもつ正方形の１辺の長さは（２５＋１０√５）^1/4でなければならない．

　　Ａ（１，０），Ｂ（ａ，ｂ），Ｃ（ｘ1，０）

　　ａ＝（１＋√５）／２，ｂ＝（１０＋２√５）^1/2

とおくと，

　　（ｘ1−ａ）^2＋ｂ^2＝（２５＋１０√５）^1/2

より，

　　ｘ1＝ｃ＋ａ＝３，４２４６５

　　ｃ＝｛（２５＋１０√５）^1/2−ｂ^2｝^1/2＝１．８０６６２

　また，ＡＣ⊥ＡＤ，ＡＣ＝ＡＤなる点をＤ（ｘ2，ｙ2），ＡＤがｙ＝ｍ（ｘ＋１），ｍ＝ｂ／（１−ａ）と交わる点をＥ（ｘ3，ｙ3）とすると，

　　ｘ2＝ａ−ｂ＝−０．２８４０７９

　　ｙ2＝ｂ−ｃ＝０．０９５４９３１

　　ｘ3＝−１．８０６６２

　　ｙ3＝１．２９０８５

これらの点の座標がわかれば，辺の長さや頂角の計算は簡単である．

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【２】雑感

　　［参］Frederickson GN: Dissections: Plane and Fancy, Cambridge University Press, 1997

は２次元・３次元の分割パズルのコレクションである．著作権の関係で図は転載できないので，図番号だけを掲げることにするが，

　　星形六角形から正方形へ（11.13 Bradley's hexagram to square）

　　星形五角形から正方形へ（11.25 Tilson's pentagram to square）

　　正七角形から正方形へ（11.30 Theobald's heptagon to square）

　　正九角形から正方形へ（11.36 Theobald's enneagon to square）

　　正八角形から正六角形へ（11.39 Theobald's octagon to hexagn）

　　正十角形から正方形へ（11.43 Theobald's decagon to square）

　　正五角形から正三角形へ（12.11 Goldberg's pentagon to triangle）

　　正六角形から正三角形へ（12.13 Lindgren's hexagon to triangle）

　　正九角形から正三角形へ（12.20 Theobald's enneagon to triangle）

　　星形五角形から正五角形へ（12.24 Theobald's pentagram to pentagon）

　　星形六角形から正六角形へ（13.6 hexagram to hexagon）

　　星形八角形から正方形へ（13.8 octagram to square）

等々．

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