■四角形の面積と角錐台の体積(その20)

 ヘロンの公式は

S^2=s(s-a)(s-b)(s-c),2s=a+b+c

ですが,展開すると

S^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/16

=(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4)/16

16S^2=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)

となります.

 ブレットシュナイダーの公式には,補正項8abcdcos2θがつきますが

16S^2+8abcdcos2θ=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2-2(a^4+b^4+c^4+d^4)

となって,d→0の極限ではヘロンの公式に一致するというわけです.

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