ヘロンの公式は

Ｓ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ），２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ

ですが，展開すると

Ｓ^2＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

１６Ｓ^2＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）^2−２（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）

となります．

　ブレットシュナイダーの公式には，補正項８ａｂｃｄｃｏｓ２θがつきますが

１６Ｓ^2＋８ａｂｃｄｃｏｓ２θ＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2−２（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）

となって，ｄ→０の極限ではヘロンの公式に一致するというわけです．

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