１６Ｓ^2＋１６ａｂｃｄｃｏｓ^2θ＝−（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＋２ｂ^2ｃ^2＋２ａ^2ｄ^2＋２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｄ^2＋２ａ^2ｃ^2＋２ｃ^2ｄ^2＋８ａｂｃｄ

＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2−２（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＋８ａｂｃｄ

が，ブレットシュナイダーの公式のもう一つの形である．

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　また，

　　１６Ｓ^2＝４（ｄ1ｄ2）^2ｓｉｎ^2φ

であるから，

４（ｄ1ｄ2）^2ｓｉｎ^2φ＋１６ａｂｃｄｃｏｓ^2θ＝−（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＋２ｂ^2ｃ^2＋２ａ^2ｄ^2＋２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｄ^2＋２ａ^2ｃ^2＋２ｃ^2ｄ^2＋８ａｂｃｄ

＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2−２（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＋８ａｂｃｄ

が，プトレマイオスの定理（トレミーの定理）のもう一つの形である．

　円に内接するとき，ｃｏｓθ＝０より

４（ｄ1ｄ2）^2ｓｉｎ^2φ＝−（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＋２ｂ^2ｃ^2＋２ａ^2ｄ^2＋２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｄ^2＋２ａ^2ｃ^2＋２ｃ^2ｄ^2＋８ａｂｃｄ

＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2−２（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＋８ａｂｃｄ

　これが，

　　ａｃ＋ｂｄ＝ｄ1ｄ2

と等価になることはすぐにはわからない．また，円に内接しないとき

　　ａｃ＋ｂｄ＞ｄ1ｄ2

も上式から求められるだろうか？

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