円に内接する場合を考える.
S^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)
s=(a+b+c+d)/2
S=1/2・d1d2sinφ
ac+bd=d1d2
===================================
S=1/2・(ac+bd)sinφ={(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}^1/2
1/4・(ac+bd)^2sin^2φ=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)
=1/16・(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)
===================================
[まとめ]円に内接する四角形(a,b,c,d)の対角線の交角φは
sin^2φ=(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)/4(ac+bd)^2
で与えられる.
正方形(a=b=c=d=1)で検してみると,
sin^2φ=16/4・4=1→ φ=π/2
===================================