［１］完全数Ｎは

　　σ（Ｎ）＝２Ｎ

を満たす数として定義される．

　偶完全数Ｎは

　　Ｎ＝２^p-1（２^p−１），Ｍ＝２^p−１はメルセンヌ素数

と書くことができる．

　　ｐ＝２，３，５，７，１３，１７，１９，・・・，７４２０７２８１

　　Ｎ＝６，２８，４９６，・・・，２^74207280（２^74207281−１）

［２］Ｎ＝２ｐのとき，

　　σ（Ｎ）＝１＋２＋ｐ＋２ｐ＝３（ｐ＋１）＝３（Ｎ／２＋１）

　　２σ（Ｎ）＝３Ｎ＋６

［３］σ（Ｎ）＝２Ｎ→完全数

　　　σ（Ｎ）＝２Ｎ−１→概完全数

　　　σ（Ｎ）＝２Ｎ＋１→疑似完全数

　疑似完全数が存在するかどうかも未解決である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［４］完全数を一般化する方向としてはいくつか考えられる．ひとつには，

　　ｋ倍完全数：σ（Ｎ）＝ｋＮ

［５］もうひとつには，「ａを底とする完全数」として，（ａ^p−１）／（ａ−１）が素数となるという条件をつけて

　　Ｎ＝ａ^p-1（ａ^p−１）／（ａ−１）とか・・・

　　Ｎ＝３^p-1（３^p−１）／２・・・３を底とする完全数

　　Ｎ＝４^p-1（４^p−１）／３・・・４を底とする完全数

　　Ｎ＝５^p-1（５^p−１）／４・・・４を底とする完全数

　だいぶ強引であるようにみえるかもしれないが，完全数

　　２^p−１はメルセンヌ素数

　　Ｎ＝２^p-1（２^p−１）＝２^p-1（２^p−１）

では

　　σ（２^e）＝２^e+1−１

が基本的な役割を果たしたので，

　　σ（３^e）＝（３^e+1−１）／２

　　２σ（３^e）＝（３^e+1−１）＝３・３^e−１

として，一般に

　　２σ（Ｎ）＝３・Ｎ−１

　　２σ（Ｎ）＝３・Ｎ

　　２σ（Ｎ）＝３・Ｎ＋１

りなる自然数Ｎは何かを問題にするのは自然な成り行きであろう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝