［３］σ（Ｎ）＝２Ｎ→完全数

　　　σ（Ｎ）＝２Ｎ−１→概完全数

　　　σ（Ｎ）＝２Ｎ＋１→疑似完全数

　２のベキは概完全数になるが、このほかに概完全数が存在するかどうかはわかっていない。

概完全数は２のベキに限るというのが概完全数であるが、現代数学でも解決できない難問として有名である。

飯高茂先生は

　　　σ（Ｎ）＝２Ｎ−ｍ→平行移動ｍの完全数

と呼んでおられる。

ｍ＝0として得られた解はＮ＝２^eｑ、ｑ＝２^e-１（メルセンヌ素数)と書ける。

ｍ＝2として得られた解はＮ＝２^eｑ、ｑ＝２^e-１+２（フェルマー素数)と書ける。

さらに、ｍを完全数のマイナス2倍、ｍ＝-2k=-12,-56,-992,-16256,・・・とした場合を宇宙完全数と呼んでおられるようだ。

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［４］完全数を一般化する方向としてはいくつか考えられる．ひとつには，

　　ｋ倍完全数：σ（Ｎ）＝ｋＮ

［５］もうひとつには，「ａを底とする完全数」として，（ａ^p−１）／（ａ−１）が素数となるという条件をつけて

　　Ｎ＝ａ^p-1（ａ^p−１）／（ａ−１）とか・・・

　　Ｎ＝３^p-1（３^p−１）／２・・・３を底とする完全数

　　Ｎ＝４^p-1（４^p−１）／３・・・４を底とする完全数

　　Ｎ＝５^p-1（５^p−１）／４・・・４を底とする完全数

　だいぶ強引であるようにみえるかもしれないが，完全数

　　２^p−１はメルセンヌ素数

　　Ｎ＝２^p-1（２^p−１）＝２^p-1（２^p−１）

では

　　σ（２^e）＝２^e+1−１

が基本的な役割を果たしたので，

　　σ（３^e）＝（３^e+1−１）／２

　　２σ（３^e）＝（３^e+1−１）＝３・３^e−１

として，一般に

　　２σ（Ｎ）＝３・Ｎ−１

　　２σ（Ｎ）＝３・Ｎ

　　２σ（Ｎ）＝３・Ｎ＋１

りなる自然数Ｎは何かを問題にするのは自然な成り行きであろう．

飯高茂先生はこのようかタイプの完全数の一般化を乗法付き完全数と呼んでおられる。

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