ｆ（ｘ）＝ｘ^3−３ｘ＋１＝０の３解を考えます．

　ｃｏｓ（３θ）＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ

τ＝２ｃｏｓθとする．

　ｆ（τ）＝８ｃｏｓ^3θ−６ｃｏｓθ＋１

　　　　　＝２ｃｏｓ（３θ）＋１

　２ｃｏｓ（３θ）＋１＝０となるθを求めると，３θ＝２π／３

θ＝２π／９とすればよい．→　τ1＝２ｃｏｓ２π／９

　τ1^3＝３τ1−１

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　次に，τ2＝τ1^2−２と定義すると

　ｆ（τ2）＝τ2^3−３τ2＋１

＝（τ1^2−２）^3−３（τ1^2−２）＋１

＝（τ1^2−２）｛（τ1^2−２）^2−３｝＋１

＝（τ1^2−２）｛−τ1^4−４τ1^2＋１｝＋１

＝（τ1^2−２）｛−τ1^4−４τ1^2＋１｝＋１

＝（τ1^2−２）｛−τ1^4−４τ1^2＋１｝＋１

＝｛−τ1^4−τ1^3＋３τ1^2＋２τ1＋２）＋１

＝−τ1^3＋３τ1−１＝０

　次に，τ3＝τ2^2−２と定義すると，同様にｆ（τ3）＝０

また，τ2，τ3の定義より，

　　τ3＝τ2^2−２＝（τ1−２）^2−２＝−τ1−τ2

　一方，τ1＝２ｃｏｓθより，

τ2＝τ1^2−２＝４ｃｏｓ^2２θ−２＝２ｃｏｓ（２θ）＝２ｃｏｓ４π／９

τ3＝τ2^2−２＝４ｃｏｓ^2４θ−２＝２ｃｏｓ（４θ）＝２ｃｏｓ８π／９

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　これより，

　２ｃｏｓ（２π／９）＋２ｃｏｓ（４π／９）＋２ｃｏｓ（８π／９）＝０

　２ｃｏｓ（２π／９）・２ｃｏｓ（４π／９）・２ｃｏｓ（８π／９）＝−１

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