【3】cos(π/n)
θ=π/n,x=cosθが解となる方程式は,一般にn次式になると考えることは誤りである.
[1]n=2mのとき
cosnθ=2cos^2mθ-1=-1
cosmθ=0はcosθのm次式となる.
[2]n=2m+1のとき
cosnθ=cosmθcos(m+1)θ-sinmθsin(m+1)θ1=-cos^2mθ-sin^2mθ=-1
ではしょうがないので,
cosθ=cos((m+1)θ-mθ)=cosmθcos(m+1)θ+sinmθsin(m+1)θ1=-cos^2mθ+sin^2mθ=1-2cos^2mθ
とおくと,xの2m次式
x=1-(xのm次式)^2
が得られる.たとえば,cos(π/7)の場合,6次式となるが,これではほとんどメリットがない.
[3]もしcos(π/n)が既知であるならば,cos(π/2n)は2次方程式からは芋づる式に求めることができる.
2cos^2(π/4)-1=cos(π/2)=0
2cos^2(π/8)-1=cos(π/4)=1/√2
2cos^2(π/16)-1=cos(π/8)
2cos^2(π/3)-1=cos(2π/3)=-1/2
2cos^2(π/6)-1=cos(π/3)=1/2
2cos^2(π/12)-1=cos(π/6)=√3/2
2cos^2(π/5)-1=cos(2π/5)=(√5-1)/4
2cos^2(π/10)-1=cos(π/5)=(√5+1)/4
2cos^2(π/20)-1=cos(π/10)
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