［Ｑ］ｃｏｓπ／７－ｃｏｓ２π／７＋ｃｏｓ３π／７＝１／２を示せ．

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［Ａ］－ｃｏｓ２π／７＝ｃｏｓ５π／７であるから，この問題は

　　ｃｏｓπ／７＋ｃｏｓ３π／７＋ｃｏｓ５π／７＝１／２

と同値である．

　　θ＝π／７，７θ＝πより，

　　ｃｏｓ（３θ＋４θ）＝－１

　　ｃｏｓ（３θ）＝－ｃｏｓ（４θ）

　３倍角の公式は

　　ｃｏｓ（３θ）＝４ｃｏｓ^3θ－３ｃｏｓθ

４倍角の公式を知らなければ，倍角の公式を２回適用して

　　ｃｏｓ（４θ）＝２ｃｏｓ^2２θ－１＝８ｃｏｓ^4θ－８ｃｏｓ^2θ＋１

　したがって，ｃｏｓπ／７を解とする方程式は

　　４ｘ^3－３ｘ＝－８ｘ^4＋８ｘ^2－１

　　８ｘ^4＋４ｘ^3－８ｘ^2－３ｘ＋１＝０

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　実は，この方程式はｃｏｓπ／７のみならず，ｃｏｓ３π／７，ｃｏｓ５π／７，ｃｏｓ７π／７＝ｃｏｓπ＝－１も解となる．

　したがって，

　　８ｘ^4＋４ｘ^3－８ｘ^2－３ｘ＋１＝０

　　（ｘ＋１）（８ｘ^3－４ｘ^2－４ｘ＋１）＝０

と因数分解できる．

　ｃｏｓπ／７，ｃｏｓ３π／７，ｃｏｓ５π／７は，

　　８ｘ^3－４ｘ^2－４ｘ＋１＝０

の３根となる．

　根と係数の関係より

　　ｃｏｓπ／７＋ｃｏｓ３π／７＋ｃｏｓ５π／７＝４／８＝１／２

　　ｃｏｓπ／７・ｃｏｓ３π／７・ｃｏｓ５π／７＝－１／８

が示される．

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