【１】概完全数

　自然数Ｎの正の約数の和をσ（Ｎ）で表すことにします．Ｎが素数ならば，　　σ（Ｎ）＝１＋Ｎ

完全数ならば

　　σ（Ｎ）＝２Ｎ

が成り立ちます．

　　σ（６）＝１＋２＋３＋６＝１２＝２・６

　　σ（２８）＝１＋２＋４＋７＋１４＋２８＝５６＝２・２８

　　σ（４９６）＝（１＋２＋２^2＋２^3＋２^4）（１＋３１）＝９９２＝２・４９６

　ユークリッドは「原論」の中で，２^n−１が素数ならば２^n-1（２^n−１）は完全数であることを示し，さらにオイラーは偶数の完全数はこの形に限ることを証明しました．偶数の完全数は無限に存在するか，奇数の完全数は存在するかは未解決の難問になっています．

　さて，ここでは

　　σ（Ｎ）＝２Ｎ−１

を満たす自然数を概完全数と呼ぶことにします．

　Ｎ＝２^rとすると

　　σ（Ｎ）＝（１＋２＋２^2＋・・・＋２^r）＝２^r+1−１＝２Ｎ−１

ですから，偶数の概完全数は無限に存在することがわかります．

この逆が言えるか？　すなわち、概完全数は２^rの限るか？はよく知られた難問です。

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