ｓｉｎｘ＝３２ｓｉｎｘ／６ｃｏｓ^5ｘ／６−３２ｓｉｎｘ／６ｃｏｓ^3ｘ／６＋６ｓｉｎｘ／６ｃｏｓｘ／６

＝ｓｉｎｘ／６ｃｏｓｘ／６（３２ｃｏｓ^4ｘ／６−３２ｃｏｓ^2ｘ／６＋６）

ｓｉｎｘ／６＝ｓｉｎｘ／６^2ｃｏｓｘ／６^2（３２ｃｏｓ^4ｘ／６^2−３２ｃｏｓ^2ｘ／６^2＋６）

　したがって，

ｓｉｎｘ＝

＝ｓｉｎｘ／６^2・ｃｏｓｘ／６・ｃｏｓｘ／６^2・（３２ｃｏｓ^4ｘ／６−３２ｃｏｓ^2ｘ／６＋６）（３２ｃｏｓ^4ｘ／６^2−３２ｃｏｓ^2ｘ／６^2＋６）

＝・・・・・

＝ｓｉｎｘ／６^kΠｃｏｓｘ／６^k・Π（３２ｃｏｓ^4ｘ／６^2−３２ｃｏｓ^2ｘ／６^2＋６）

＝６^kｓｉｎｘ／６^kΠｃｏｓｘ／６^k・Π（３２ｃｏｓ^4ｘ／６^2−３２ｃｏｓ^2ｘ／６^2＋６）／６

　ｋ→∞のとき，ｌｉｍｓｉｎｘ／６^k／（ｘ／６^k）

＝１／ｘ・ｌｉｍ６^kｓｉｎｘ／６^k＝１

　　ｌｉｍ６^kｓｉｎｘ／６^k＝ｘ

また，｜３２ｃｏｓ^4ｘ／６^k−３２ｃｏｓ^2ｘ／５^k＋６｜／６≦１より

　　ｌｉｍΠ（３２ｃｏｓ^4ｘ／６^2−３２ｃｏｓ^2ｘ／６^2＋６）／６＝１

　以上より，

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝Πｃｏｓ^2ｘ／６^k

が示される．

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