ｓｉｎｘ＝１６ｓｉｎ^5ｘ／５−２０ｓｉｎ^3ｘ／５＋５ｓｉｎｘ／５

＝ｓｉｎｘ／５（１６ｓｉｎ^4ｘ／５−２０ｓｉｎ^2ｘ／５＋５）

＝ｓｉｎｘ／５（１６ｃｏｓ^4ｘ／５−１２ｃｏｓ^2ｘ／５＋１）

＝ｓｉｎｘ／５（４ｃｏｓ^2ｘ／５＋２ｃｏｓｘ／５−１）（４ｃｏｓ^2ｘ／５−２ｃｏｓｘ／５−１）

ｓｉｎｘ／５＝ｓｉｎｘ／５^2（４ｃｏｓ^2ｘ／５^2＋２ｃｏｓｘ／５^2−１）（４ｃｏｓ^2ｘ／５^2−２ｃｏｓｘ／５^2−１）

　したがって，

ｓｉｎｘ＝

＝５^2ｓｉｎｘ／５^2・（４ｃｏｓ^2ｘ／５＋２ｃｏｓｘ／５−１）／５（４ｃｏｓ^2ｘ／５^2＋２ｃｏｓｘ／５^2−１）／５・（４ｃｏｓ^2ｘ／５−２ｃｏｓｘ／５−１）（４ｃｏｓ^2ｘ／５^2−２ｃｏｓｘ／５^2−１）

＝・・・・・

＝５^kｓｉｎｘ／５^k・Π（４ｃｏｓ^2ｘ／５^k＋２ｃｏｓｘ／５^k−１）／５Π（４ｃｏｓ^2ｘ／５^k−２ｃｏｓｘ／５^k−１）

　ｋ→∞のとき，ｌｉｍｓｉｎｘ／５^k／（ｘ／５^k）

＝１／ｘ・ｌｉｍ５^kｓｉｎｘ／５^k＝１

　　ｌｉｍ５^kｓｉｎｘ／５^k＝ｘ

また，｜４ｃｏｓ^2ｘ／５^k−２ｃｏｓｘ／５^k−１｜≦１より

　　ｌｉｍΠ（４ｃｏｓ^2ｘ／５^k−２ｃｏｓｘ／５^k−１）＝１

　以上より，

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝Π（４ｃｏｓ^2ｘ／５^k＋２ｃｏｓｘ／５^k−１）／５

が示される．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝