【１】グレゴリー・ライプニッツ級数

　（その２０）では，ｃｏｓｘの無限積表示

　　ｃｏｓｘ＝（１−４ｘ^2／π^2）（１−４ｘ^2／９π^2）（１−４ｘ^2／２５π^2）・・・

を用いているが，ｔａｎｘに対しては，部分分数の無限級数表示

　　ｔａｎｘ＝８ｘ［１／（π^2−４ｘ^2）＋１／（９π^2−４ｘ^2）＋１／（２５π^2−４ｘ^2）＋・・・］

が成り立つ．

　ｘ＝π／４とすると，

　　１＝４／π（１−１／３＋１／５−１／７＋・・・）

であるから，グレゴリー・ライプニッツ級数

　　π／４＝１−１／３＋１／５−１／７＋・・・

が導かれる．

　グレゴリー・ライプニッツ級数はπを含んでいる無限級数として最初のものなのだが，オリジナルは

　　ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３＋ｘ^5／５−ｘ^7／７＋・・・

から発見されたものである．

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【２】オイラー級数

　また，ｘ→０としたときのｔａｎｘ／ｘの漸近挙動から，

　　π^2／８＝１／１^2＋１／３^2＋１／５^2＋・・・

さらに，

　　Ｓ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・

　　　＝１／１^2＋１／３^2＋１／５^2＋・・・＋１／２^2＋１／４^2＋１／６^2

　　　＝１／１^2＋１／３^2＋１／５^2＋・・・＋１／４［１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・］

　　　＝π^2／８＋Ｓ／４

　したがって，

　　Ｓ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＝π^2／６

となるが，これはオイラーにより発見された有名な級数である．

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