ガウス平面で正５角形の頂点を表す４次方程式

　　ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０

の両辺をｘ^8でわり，

　　ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／５）

と変数変換すると２次方程式

　　ｙ^2＋ｙ−１＝０

に帰着され，

　　ｙ＝（√５−１）／２＝２ｃｏｓ（２π／５）

　　ｃｏｓ（２π／５）＝（√５−１）／４

が得られる．

　正１７角形の場合は，もう２ステップ要するものであったが，ｎ＝５の場合と全く同様に証明することができた．

　１７９６年，ガウスは１９才のときに正１７角形の作図を思いついたのみならず，ｎが素数の正ｎ角形について，ｎ＝２2^m＋１が素数の場合に限り定規とコンパスだけで作図可能であることを発見したのである．

　それでは，正３３角形（３２次円分方程式）は本当に作図不可能なのか？　もちろん，フェルマー素数でないから作図できないのであるから，そういってしまえばそれまでであるが，やはり「ガウスは天才だった」として一言で済ませたくないのである．

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　この問いかけは結局ガウスの円分体の理論を「初等的に」説明せよということになるのかもしれません．一般的なｎ＝２^m＋１でなく，そのうちの特別な２^2^k＋１に限る，さらにそのうちの素数のものに限るということは，

　　２^3＋１＝９＝３・３，２^5＋１＝３３＝３・１１

などが素数でないことから推察できます．だからもしも正３３角形が作図できれば正１１角形が作図できることになっておかしいという説明はできます．

　枝葉の話ですが，ｔ＝ｘ＋１／ｘでうまくゆくのは結局ｃｏｓ（π／ｎ），ｓｉｎ（π／ｎ）が二重根号（（１０＋２√５）^1/2など）で表されることに対応します．以下のようにいうとギリシャ数学史の専門家から叱られますが，ユークリッド原論第１０巻は今日の我々の眼からみると二重根号量（（ａ＋√ｂ）^1/2，（ａ−√ｂ）^1/2）の扱いであり，それが（特に（１０±２√５）^1/2が）第１３巻で正十二面体，正二十面体の構成にうまく活用されています．

　正１７角形では３重根号数と４重根号数が必要になります．ある歴史家の話では，これは古代ギリシャの数学者の手に負えなかった話題（？）だろうということです．正５角形が（定規とコンパスで）作図できる，そしてその作図に黄金比と関連した二重根号で表される量が本質的に関わっているという事実の発見が古代ギリシャ数学のひとつの頂上であったように思います．　　（一松信）

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