μ（ｎ）＝1　（ｎ＝1、ｎが偶数個の相異なる素数の積）

μ（ｎ）＝０　（ｎが平方数によって割り切れる）

μ（ｎ）＝-1　（ｎが奇数個の相異なる素数の積）

　μ（１）＝１，μ（２）＝-１，μ（３）＝-１，μ（４）＝０

　μ（５）＝-１，μ（６）＝１，μ（７）＝-１，μ（８）＝０

　μ（９）＝０，μ（１０）＝１，

メビウス関数を使って、P(n)=ｘ^n−１の因数分解

　　Pｎ(ｘ)=ｘ^n−１＝ΠΦｋ（ｘ）

が可能である。ここで、

Φn(x)=Π(x^d-1)^μ(n/d)

で与えられる。円分方程式の因数分解の方法はこれ以外にもいくつか知られているが、ここではそれとは異なる観点からの因数分解を紹介したい。

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　ｘ^n−１の因数分解が，ｎの約数ｄを使って次のように書かれることを考えます．

　　ｘ−１＝Φ1（ｘ）

　　ｘ^2−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）

　　ｘ^3−１＝Φ1（ｘ）Φ3（ｘ）

　　ｘ^4−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ4（ｘ）

　　ｘ^5−１＝Φ1（ｘ）Φ5（ｘ）

　　ｘ^6−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ6（ｘ）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｘ^18−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ6（ｘ）Φ9（ｘ）Φ18（ｘ）

　　ｘ^36−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ4（ｘ）Φ6（ｘ）Φ9（ｘ）Φ12（ｘ）Φ18（ｘ）Φ36（ｘ）

　すると，円分多項式は

　　Φ1（ｘ）＝ｘ−１

　　Φ2（ｘ）＝ｘ＋１

　　Φ3（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋１

　　Φ4（ｘ）＝ｘ^2＋１

　　Φ5（ｘ）＝ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１

　　Φ6（ｘ）＝ｘ^2−ｘ＋１

　　Φ7（ｘ）＝ｘ^6＋ｘ^5＋ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１ｘ−１

　　Φ8（ｘ）＝ｘ^4＋１

　　Φ9（ｘ）＝ｘ^6＋ｘ^3＋１

　　Φ12（ｘ）＝ｘ^4−ｘ^2＋１

　　Φ15（ｘ）＝ｘ^8−ｘ^7＋ｘ^5−ｘ^4＋ｘ^3−ｘ＋１

　　Φ16（ｘ）＝ｘ^8＋１

　　Φ18（ｘ）＝ｘ^6−ｘ^3＋１

　　Φ24（ｘ）＝ｘ^8−ｘ^4＋１

　　Φ36（ｘ）＝ｘ^12−ｘ^6＋１

と定まります．

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[1]Φ(x)において、ｙ＝ｘ+1/ｘ=2cosθとおくと、円分方程式は複素数解を持つ形から、実数解-2＜y＜をもつ形の相反方程式Ψ(y)に変換される。

[2]ΠΨ(y)は実数解-1＜ｚ＜1をもつ形T(z), U(z)に変換される。これがチェビシェフ多項式である。

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