【４】正１７角形の作図

　辺数３，４，５，６，８，１０，１２，１５，１６の正多角形は作図できますが，辺数７，９，１１，１３，１４の正多角形は作図できないことから，正１７角形もそうであろうと推察されます．

ところが，１７９６年，ガウスは１９才のときに正１７角形の作図を思いつき，のみならず，ｎが素数の正ｎ角形について，ｎ＝２2^m＋１が素数の場合に限り定規とコンパスだけで作図可能であることを発見しています．

cos(2π/17)=1/16・(A+B+C)=0.932472･･･

A=-1+√17

B=(34-2√17)^1/2

C=2{(17+3√17)-(34-2√17)^1/2-2(34+2√17)^1/2 }^1/2

また，単位円に内接する正十七角形の辺の長さは

2sin(π/17)=1/2√2・(A-B-C)^1/2=0.367499・・・

A=17-√17

B=(34-2√17)^1/2

C=2{(17+3√17)-(34-2√17)^1/2-2(34+2√17)^1/2 }^1/2

の形で与えられます．これらのことは，正１７角形が定規とコンパスだけで作図可能であることを示しています．

√17を作るために，半径の４等分点が使われます(17=42+12)．とはいえ，正１７角形の作図では３重根号数や４重根号数が登場し，誰でも寒気を感じることでしょう．実際，気力が失われそうな作業が待ち受けていますが，正１７角形は定規とコンパスで作図できるのです．

　正７角形も正９角形も作図できないのに，まさか正１７角形が作図できるとはと思うのが普通なのでしょうが，このことを用いると，ｍ＝０のとき正３角形，ｍ＝１のとき正５角形，ｍ＝２のとき正１７角形となり，作図可能であることがわかります．当然，ずっと面倒になるでしょうが，正２５７角形（ｍ＝３），正６５５３７角形（ｍ＝４）も作図可能です．

　アルキメデスは円柱とそれに内接する球の体積比が３：２であることを発見した記念に，自分の墓の上に円柱の形をした記念碑をおくように遺言したといわれています．アルキメデスと同じように，ガウスは正１７角形を墓石に彫るよう遺言しています．このことはガウス自身がその発見をいかに重視したかを物語っています．数々の大発見をしたガウスですが，１９才の青年がアルキメデスをもってしてもできなかった古代ギリシャ以来２０００年の謎を解いたのですから，まさに驚きとしかいいようがありません．この正１７角形の作図は彼を本格的に数学の道に入らせるきっかけとなったといわれています．

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