【２】オイラーの五角数定理

　「分割数」とは与えられた数にどれだけ多くの分割があるのか（4=1+1+1+1,4=3+1）などの整数の分割理論のことであり，たとえば，４を分割するには５通りの方法，4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1がありますから，p(4)=5，同様にしてp(5)=7となります．5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1

　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^mq^(m(3m-1)/2))

は，オイラーが分割関数p(n)の研究中に発見した関数等式です（１７５０年）．左辺は整数のｋ個の平方数の和への分割問題：

　　ｎ＝□1＋□2＋・・・＋□k

に結びついています．ｍが負になる項も含んでいるため，展開すると

　　Π(1-q^n)=1-x-x^2+x^5+x^7-x^12-x^15+x^22+x^26-x^35-x^40+x^51+･･･

になります．

　この等式もオイラー積のように「無限積＝無限和」型の等式ですが，指数の引数：ｍ（３ｍ−１）／２，すなわち，１，５，１２，２２，３５，５１，・・・という数列がピタゴラスの五角数であることから，五角数定理と呼ばれています．

　p(n)はオイラーの分割関数とも呼ばれますが，整数の分割問題は，現在では，統計力学（Maxwell-Boltzmann統計，Bose-Einstein統計，Fermi-Dirac統計）など様々な分野で実際的な問題を解決するのに用いられています．

　また，オイラーの五角数定理は，左辺がイータ関数，右辺がテータ関数と呼ばれる保型形式の原型を与えていたので，１９世紀には，

　　デデキントのイータ関数＝ヤコビのテータ関数

すなわち，保型形式の間の等式と捉えられるようになりました．さらに，１９８７年にウィッテンにより，素粒子の超弦理論はアデール理論として捉えられたことにより，最近では素粒子の超弦理論との関連も研究されています．

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