[Q] sin10°・sin50°・sin70°=?

[A} sin10°・sin50°・sin70°・2cos10°・2cos50°・2cos70°

=sin20°・sin100°・sin140°

=cos70°・cos10°・cos50°

したがって、

sin10°・sin50°・sin70°=1/8

このほかに

＝sin5π／14・sin3π／14・sinπ／14=1/8も見つかった。検算してみたい。

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[x＜45＜y＜z＜90]とする。

cosｘ・cosｙ・cosｚをかけて→sin２ｘ・sin２ｙ・sin２ｚ＝cos（90-２ｘ）・cos(２ｙ-90)・cos(２ｚ-90)

90-2x=z,90-2x=[0,90]

2y-90=x,2y-90=[0,90]

2z-90=y,2z-90=[0,90]

sin10°・sin50°・sin70°=1/8→調べられない

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[45cosｘ・cosｙ・cosｚをかけて→sin２ｘ・sin２ｙ・sin２ｚ＝cos（２ｘ-90）・cos(２ｙ-90)・cos(２ｚ-90)

2x-90=x,2x-90=[0,90]

2y-90=y,2y-90=[0,90]

2z-90=z,2z-90=[0,90]:NG

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[x＜45＜y＜z＜90]とする。

cosｘ・cosｙ・cosｚをかけて→sin２ｘ・sin２ｙ・sin２ｚ＝cos（90-２ｘ）・cos(２ｙ-90)・cos(２ｚ-90)

90-2x=x,90-2x=[0,90]

2y-90=y,2y-90=[0,90]

2z-90=z,2z-90=[0,90]:x=π/6、ｙ＝π/2、ｚ=π/2→1/2　　（NG)

90-2x=y,90-2x=[0,90]

2y-90=x,2y-90=[0,90]

2z-90=z,2z-90=[0,90]:x=π/10、ｙ＝3π/10、ｚ=π/2

→（√5ー1）/2・（√5＋1）/2・１→1　　　（NG)

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ここで、解が見つかるはずである。

[x＜y＜45＜z＜90]とする。

cosｘ・cosｙ・cosｚをかけて→sin２ｘ・sin２ｙ・sin２ｚ＝cos（90-２ｘ）・cos(9-2y)・cos(２ｚ-90)

90-2x=y,90-2x=[0,90]

90-2y=x,90-2y=[0,90]

2z-90=z,2z-90=[0,90]:ｘ＝π/6,ｙ＝π/6,z＝π/2→1/4　　（NG)

90-2x=z,90-2x=[0,90]

90-2y=y,90-2y=[0,90]

2z-90=x,2z-90=[0,90]:→ｘ＝π/10,ｙ＝π/6,z=3π/10

→（√5ー1）/2・（√5＋1）/2・１/2→1/2　　　（NG)

90-2x=z,90-2x=[0,90]

90-2y=x,90-2y=[0,90]

2z-90=y,2z-90=[0,90]:→ｘ＝π/14,ｙ＝3π/14,z=5π/14 →調べられない

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[x＜y＜z＜45]とする。

cosｘ・cosｙ・cosｚをかけて→sin２ｘ・sin２ｙ・sin２ｚ＝cos（90-２ｘ）・cos(9-2y)・cos(90-２ｚ)

90-2x=z,90-2x=[0,90]

90-2y=y,90-2y=[0,90]

90-2z=x,90-2z0=[0,90]:x=y=z=30 →1/8　　（OK)

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