【５】可解性条件

　これまで（ｍ，ｎ）＝（５，−５）には自然数解があることが得られましたが，

ａ）（ｍ，ｎ）＝（１，−１）には自然数解は存在しないことの証明がフィボナッチ・フェルマーの定理であること

（ｙ＞０，ｘ，ｚ，ｗはすべて≧０としてよい．ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2よりｚ＞０．またここでｘ＞０．もしｘ＝０ならばｘ^2−ｙ^2＝−ｙ^2＝ｗ^2＜０となり矛盾．またｗ＞０．もしｗ＝０ならばｘ^2−ｙ^2＝ｗ^2＝０より，ｘ＝ｙ．これをｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2に代入すると２ｘ^2＝ｚ^2となり矛盾．したがって，非自明解があるとすると自然数解ができてしまい，フィボナッチ・フェルマーの定理に矛盾する．）

ｂ）自明な解を除いて（ｍ，ｎ）＝（１，２）には自然数解がない，一方，（２，６）には自然数解，たとえば，（ｘ，ｙ）＝（１，２），（１９１，６０）などがあることが帰結として導かれます．

　　１^2＋２・２^2＝３^2，１^2＋６・２^2＝５^2

　　１９１^2＋２・６０^2＝２０９^2，１９１^2＋６・６０^2＝２４１^2

　拡張したフィボナッチ・フェルマーの方程式

　　ｘ^2＋ｍｙ^2＝ｚ^2

　　ｘ^2＋ｎｙ^2＝ｗ^2

の自然数解の有無については部分的な解答が得られているだけで，完全な解決（一般的な可解性条件）はまだ得られていませんが，わかっていること，予想されていることについてまとめておきましょう．

ａ）（ｍ，ｎ）＝（１，２ｎ^2−１）　（ｎ≧２）には非自明解がある

ｂ）（ｍ，ｎ）＝（ｍ，２−ｍ）　（ｍ≠０，１，２）には非自明解がある

ｃ）（ｍ，ｎ）＝（ｋ，−ｋ）　（ｋは分離的数）の場合，

　　　ｋ＝１，ｋ＝２→自明解のみ

　　　ｋ＝３（ｍｏｄ８）→自明解のみ

　　　ｋ＝５，６，７（ｍｏｄ８）７→非自明解がある

　　　ｋ＝１，２（ｍｏｄ８）→どちらの場合もある

　ｋが分離的とはｐ^2｜ｋなる素数ｐがないこと，すなわち，ｋ＝±ｐ1ｐ2・・・ｐn，ｐi≠ｐjと因数分解されることである（ｋ＝±１は分離的，ｋ＝１は平方数であり分離的数である唯一の整数）．

　ｋ＝５，６，７（ｍｏｄ８）７→非自明解がある

という予想は，ＢＳＤ予想からも自然にでてくるものであるという．

ｄ）（ｍ，ｎ）＝（ｋ，−ｋ）に非自明解がある場合，

　　ｋｃ^2＝ａｂ（ａ^2−ｂ^2）　　（ａ，ｂ）＝１，ａ≠ｂ（ｍｏｄ２）

を満足するａ，ｂ，ｃに対して，

　　ｘ＝（ａ^2＋ｂ^2，２ｃ，ａ^2−ｂ^2＋２ａｂ，ａ^2−ｂ^2−２ａｂ）

は非自明解を与える．

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［参］小野孝「オイラーの主題による変奏曲」実教出版

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［補］正の整数Ａが３辺が有理数の直角三角形の面積になっているとき，すなわち，Ａ＝ａｂ／２，ａ^2＋ｂ^2＝ｈ^2のとき，合同数と呼ばれる．６は直角三角形（３，４，５）の面積，３０は直角三角形（５，１２，１３）の面積であるから合同数である．最小の合同数は直角三角形（３／２，３０，３，４１／６）の面積５である．１は合同数ではない．

　（平方因子をもたない）正の整数Ａが合同数であるための必要十分条件は

　　ｘ^2＋Ａｙ^2＝ｚ^2

　　ｘ^2−Ａｙ^2＝ｗ^2

が整数解でｙ≠０のものをもつことである．

　合同数問題における整数Ａの性質と楕円曲線：ｙ^2＝ｘ^3−Ａ^2ｘとの関連については

　　J.S.Chahal「数論入門講義」共立出版

を参照されたい．

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