【３】フィボナッチの問題の拡張

　ここでフィボナッチ・フェルマーの方程式を拡張してみることにしましょう．

　　ｘ^2＋ｍｙ^2＝ｚ^2

　　ｘ^2＋ｎｙ^2＝ｗ^2

の自然数解の有無を問うものですが，いってみれば連立の類体論のごとき問題です．

　その証明の筋道は

ａ）２つの２次曲面

　　ｘ^2＋ｍｙ^2＝ｚ^2

　　ｘ^2＋ｎｙ^2＝ｗ^2

の交わりである射影空間Ｐ^3における曲線は，

　　φ（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｙ（ｚ^2−ｍｘ^2）＝ｘ（ｚ^2−ｎｙ^2），２ｘｙｚ，ｙ（ｚ^2＋ｍｘ^2），ｘ（ｚ^2−ｎｙ^2））

　　ψ（ｘ0，ｘ1，ｘ2，ｘ3）＝（１／ｍ（ｘ2−ｘ0），１／ｎ（ｘ3−ｘ0），ｘ1）

とおいてみると，射影平面Ｐ^2における楕円曲線

　　ｍｘ^2ｙ−ｎｙｘ2−（ｘ−ｙ）ｚ^2＝０

　　ｙ（ｚ^2−ｍｘ^2）＝ｘ（ｚ^2−ｎｙ^2）

と双正則同型になること（整数点は整数点に移る）

ｂ）ｍｘ^2ｙ−ｎｙｘ2−（ｘ−ｙ）ｚ^2＝０において，ｘ−ｙ＝１とおくと

　　ｚ^2＝（ｎ−ｍ）ｘ（ｘ−１）（ｘ−ｎ／（ｎ−ｍ））

ｚ＝（ｎ−ｍ）^(1/2)ｙと変数変換すると

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）　　　λ＝ｎ／（ｎ−ｍ）

さらに，λを（λ−１）／λに置き換えると，λ＝ｍ／ｎ

　　ｍ＝（λ1−λ3）／（λ0−λ3）

　　ｎ＝（λ1−λ2）／（λ0−λ2）

　すなわち，この曲線は射影的に

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ），λ＝ｎ／（ｎ−ｍ）

と同値であること，したがって，ｊ不変量は

　　ｊ＝２^8（ｎ^2−ｍｎ＋ｍ^2）^3／ｍ^2ｎ^2（ｎ−ｍ）^2

で表されること

ｃ）楕円曲線には，楕円曲線と三点で交わる直線で，そのうちの二つの交点の座標がわかれば他の一点の座標も計算でき，二つの点の座標が有理数ならば，他の一点の座標も有理数であるなどの性質をもっている（群構造）ことから，Ｐ＝（ｘ），Ｑ＝（ｙ），Ｐ＋Ｑ＝（ｚ）＝（ｚ0，ｚ1，ｚ2）とすると（かなりの努力の後），

　　ｚ0＝（ｘ1ｙ0−ｘ0ｙ1）（ｘ0ｙ0−２ｎｘ2ｙ2）＋（ｘ0ｙ2−ｘ2ｙ0）（ｘ0ｙ0−２ｍｘ1ｙ1）＋ｍ（ｘ1^2ｙ0ｙ2−ｘ0ｘ2ｙ1^2）＋ｎ（ｘ0ｘ1ｙ2^2−ｘ2^2ｙ0ｙ1）

　　ｚ1＝（ｘ1^2ｙ0^2−ｘ0^2ｙ1^2）＋（ｘ0^2ｙ1ｙ2−ｘ1ｘ2ｙ0^2）＋（２ｘ0ｙ0−ｍｘ1ｙ1）（ｘ2ｙ1−ｘ1ｙ2）＋ｎ（ｘ2^2ｙ1^2−ｘ1^2ｙ2^2）

　　ｚ2＝（ｘ1ｘ2ｙ0^2−ｘ0^2ｙ1ｙ2）＋（ｘ0^2ｙ2^2−ｘ1^2ｙ0^2）＋２ｘ0ｙ0（ｘ2ｙ1−ｘ1ｙ2）＋ｍ（ｘ2^2ｙ1^2−ｘ1^2ｙ2^2）

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　たとえば，ｍ＝５，ｎ＝−５とすると

　　Ｆ＝ｍｘ^2ｙ−ｎｙｘ2−（ｘ−ｙ）ｚ^2

　　　＝５ｘ1^2ｘ2＋５ｘ1ｘ2^2＋ｘ1ｘ0^2−ｘ2ｘ0^2＝０

この上の点Ｐ＝（ｘ）＝（ｘ0，ｘ1，ｘ2）＝（３０，４，５）とすると，

　　２Ｐ＝（６２２７９，１１５３２，２８８１２）

　次に

　　φ（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｙ（ｚ^2−ｍｘ^2）＝ｘ（ｚ^2−ｎｙ^2），２ｘｙｚ，ｙ（ｚ^2＋ｍｘ^2），ｘ（ｚ^2−ｎｙ^2））

を用いて，整数点φ（Ｐ），φ（２Ｐ）を計算すると，

　　φ（Ｐ）＝（４１，１２，４９，３１）

　　　→４１^2＋５・１２^2＝４９^2

　　　　４１^2−５・１２^2＝３１^2

　　φ（２Ｐ）＝（３３４４１６１，１４９４６９６，４７２８００１，−１１３２７９）

　　　→３３４４１６１^2＋５・１４９４６９６^2＝４７２８００１^2

　　　　３３４４１６１^2−５・１４９４６９６^2＝（−１１３２７９）^2

　この節の最後に，オイラーによる楕円曲線：ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄの解法を紹介しましょう．

　ｄ＝ｆ^2とする．ｇを未知数として，ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｆ^2＝（ｇｘ＋ｆ）^2なる関係を考える．ｃ＝２ｆｇになるようにｇを定めれば，ａｘ＋ｂ＝ｇ^2．したがって，

　　ｘ＝（ｇ^2−ｂ）／ａ＝（ｃ^2−４ｂｆ^2）／４ａｆ^2

なる有理数解を得る．

　手品のようですが，幾何学的に考えると

　　Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ^2−ａｘ^3−ｂｘ^2−ｃｘ−ｆ^2

の点（０，ｆ）における接線の方程式は−ｃｘ＋２ｆ（ｙ−ｆ）＝０．ここで，ｃ＝２ｆｇと定めるとｙ＝ｇｘ＋ｆになる．曲線は３次で，接点では２重に交わるから，第３の交点（有理点）が１つ決まるのです．

　　ｙ^2＝ａｘ^4＋ｂｘ^3＋ｃｘ^2＋ｄｘ＋ｅ

では，ｅ＝ｆ^2，ｄ＝２ｇｆ，ｃ＝ｇ^2＋２ｈｆとおくと，ａｘ^4＋ｂｘ^3＋ｃｘ^2＋ｄｘ＋ｆ^2＝（ｈｘ^2＋ｇｘ＋ｆ）^2より，ａｘ＋ｂ＝ｈ^2＋２ｈｇ．したがって，

　　ｘ＝（ｂ−２ｈｇ）／（ｈ^2−ａ）

なる解が得られます．

　　ｙ^3＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ

の場合も同様に解くことができますが，これらの方法は実質的にはディオファントスまでさかのぼることができます．

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