ヤコビの楕円関数θ1，θ2，θ3，θ4において，しばしば

　　θ4＝θ0

と書かれます．そのわけは，射影空間の点ｘ＝（ｘ0，ｘ1，ｘ2，ｘ3）の座標の添字０，１，２，３に対応させるためです．

　射影空間では，直線上の４点の複比

　　｛（ｘ0−ｘ2）／（ｘ1−ｘ2）｝／｛（ｘ0−ｘ3）／（ｘ1−ｘ3）｝

は不変です．今回のコラムでは，拡張したフィボナッチの問題をテータ関数を用いて証明してみることにします．一見行使とは無関係に見えるかもしれませんが格子と深くかかわっています。

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【１】フィボナッチの問題

　ピタゴラス方程式：ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2には無数の自然数解があるのですが，それでは連立２次のディオファントス方程式：

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2

　　ｘ^2−ｙ^2＝ｗ^2

の自明でない自然数解を考えてみましょう（フィボナッチの問題）．

　ただし，（１，０，±１，±１）などの自明な解は必ずあるわけですから，どのｘ，ｙ，ｚ，ｗも０でないものとします．

　実は，そのような答えをもたないことがフェルマーによって証明されていて，それがフィボナッチ・フェルマーの定理と呼ばれます．フィボナッチは西暦１２００年頃，解は存在しないことを予想していたのですが，４００年後にフェルマー得意の無限降下法によって証明が与えられました．すなわち（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）の最大公約数が１である任意の原始解を定めるとｘ’＜ｘなる第２の原始解，ｘ”＜ｘ’なる第３の原始解，・・・ができて矛盾を生じてしまうのです（要するに数学的帰納法）．

　さらに，この定理を応用すると，

「３辺の長さが自然数であるような直角三角形と同じ面積をもつ，辺の長さが自然数の正方形は存在しない（ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2，ｘｙ＝２ｔ^2）」

「ｘ^4−ｙ^4＝ｚ^2の自然数解はない」

「ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4の自然数解はない（ｎ＝４の場合のフェルマー予想）」

などが証明できます．

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