【２】テータ関数の零点と無限積表示

　　θ3（ｚ＋１）＝θ3（ｚ）

　　θ3（ｚ＋τ）＝Ａθ3（ｚ），Ａ＝ｑ^(-1)ｙ^(-2)

を拡張すると

　　θ3（ｚ＋ｍ＋ｎτ）＝ｑ^(-n^2)ｙ^(-2n)θ3（ｚ）

ですが，テータ関数の零点が

　　θ3（ｍ＋ｎτ＋１／２＋τ／２）＝０　　　（ｍ，ｎは整数）

（証明は帰納法による）であることより，テータ関数の無限積表示

　　θ3（ｚ）＝Π（１−ｑ^2m）（１＋ｑ^(2m-1)ｙ^2）（１＋ｑ^(2m-1)ｙ^(-2)）

が得られます．

　同様に

　　θ4（ｚ＋ｍ＋ｎτ）＝(-1)^nｑ^(-n^2)ｙ^(-2n)θ4（ｚ）

　　θ2（ｚ＋ｍ＋ｎτ）＝(-1)^mｑ^(-n^2)ｙ^(-2n)θ2（ｚ）

　　θ1（ｚ＋ｍ＋ｎτ）＝(-1)^(m+n)ｑ^(-n^2)ｙ^(-2n)θ1（ｚ）

　　θ4（ｍ＋ｎτ＋τ／２）＝０

　　θ2（ｍ＋ｎτ＋１／２）＝０

　　θ1（ｍ＋ｎτ）＝０

より

　　θ4（ｚ）＝Π（１−ｑ^2m）（１−ｑ^(2m-1)ｙ^2）（１−ｑ^(2m-1)ｙ^(-2)）

　　θ2（ｚ）＝２ｑ^(1/4)ｃｏｓπｚΠ（１−ｑ^2m）（１＋ｑ^2mｙ^2）（１＋ｑ^2mｙ^(-2)）

　　θ1（ｚ）＝２ｑ^(1/4)ｓｉｎπｚΠ（１−ｑ^2m）（１−ｑ^2mｙ^2）（１−ｑ^2mｙ^(-2)）

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　ヤコビのテータ関数

　　θ3（ｚ）＝１＋２Σｑ^(n^2)ｃｏｓ（２ｎπｚ）

は指数関数（周期関数）に対応しているのですが，ヤコビはテータ関数を使うことによって，ヤコビの楕円関数（二重周期関数）を表すことにも成功しています．

　このように楕円関数論ではθkがｚについて擬２重周期（１，τ）をもつ関数として互いに関係する点に注目するのに対して，物理ではθkのτについてのモジュラー関数として着目します．

　そこで，簡単のため，ｚ＝０（ｙ＝１）とおいたものをθk（τ）とかくと，

　　θ3（τ）＝Π（１−ｑ^2m）（１＋ｑ^(2m-1)）^2

　　θ4（τ）＝Π（１−ｑ^2m）（１−ｑ^(2m-1)）^2

　　θ2（τ）＝２ｑ^(1/4)Π（１−ｑ^2m）（１＋ｑ^2m）^2

　　θ1（τ）＝０

　　θ1'（τ）＝ｄθ1／ｄｚ｜(z=0)＝２πｑ^(1/4)Π（１−ｑ^2m）^3

となります．

　また，これらより

　　πθ2（τ）θ3（τ）θ4（τ）＝θ1'（τ）

　　θ3^4（τ）＝θ2^4（τ）＋θ4^4（τ）

などの関係式を導き出すことができます．

　ここからはデデキントのイータ関数との関係で

　　ｑ＝ｅｘｐ（２πｉτ）

としますが，周期性

　　θ3（τ＋１）＝θ4（τ）

　　θ4（τ＋１）＝θ3（τ）

　　θ2（τ＋１）＝θ2（τ）ｅｘｐ（πｉ４）

双対性については，ポアソンの和公式を用いて求めます．

　　θ3（−１／τ）＝θ3（τ）（−ｉτ）^(1/2)

　　θ4（−１／τ）＝θ2（τ）（−ｉτ）^(1/2)

　　θ2（−１／τ）＝θ4（τ）（−ｉτ）^(1/2)

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