与えられた関数ｆ（ｘ）に対して与えられた区間［−ｈ，ｈ］上で，ｎ−１次多項式：ｇ（ｘ）＝ｐ0＋ｐ1ｘ＋ｐ2ｘ^2＋・・・＋ｐn-1ｘ^n-1とのズレ

　　ｈ（ｘ）＝｜ｆ（ｘ）−ｇ（ｘ）｜

の最大値を最小にするパラメータの値を求める最良一様近似（ミニマックス近似）の問題を考える．

　有理分数式ｇ（ｘ）＝ｐ（ｘ）／ｑ（ｘ）を用いて最良近似する問題も含め，このような一様計量はチェビシェフ計量と呼ばれていて，最小２乗法の計量とは異なる．

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【１】最良近似

　特殊な場合として，最高次数の係数が１のｎ次多項式

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ｐ1ｘ^n-1＋・・・＋ｐn

で，ゼロからの偏差が最小の多項式を求める問題を考えよう．もし解が存在するならば，Ｌ＝ｍａｘ｜ｆ（ｘ）｜としてｆ（ｘ）の値の絶対値がＬに等しく，ｎ回符号が交代する点が存在することが必要である．

　そのためには，ｇ（ｘ）＝（１／ｎ）ｆ’（ｘ）（すなわち最高次数の係数が１のｎ−１次多項式）として恒等式

　　｜ｆ（ｘ）｜^2−Ｌ^2＝（ｘ^2−ｈ^2）｜ｇ（ｘ）｜^2

が成り立たなければならない．

　　ｆ（ｘ）−（ｘ^2−ｈ^2）^1/2ｇ（ｘ）＝Ｌ^2／（ｘ^2−ｈ^2）^1/2ｆ（ｘ）｛ｆ（ｘ）＋（ｘ^2−ｈ^2）^1/2ｇ（ｘ）｝

と書き換えて，１／（ｘ^2−ｈ^2）^1/2の連分数展開すると

　　ｆ（ｘ）＝｛（ｘ＋（ｘ^2−ｈ^2）^1/2）^n＋（ｘ−（ｘ^2−ｈ^2）^1/2）^n｝／２^n

　ここで，ｘ＝ｈｃｏｓθとおくと

　　ｆ（ｘ）＝ｈ^n／２^n-1・ｃｏｓｎθ＝ｈ^nＴn（ｘ／ｈ）

　　Ｔn（ｘ）＝１／２^n-1・ｃｏｓ（ｎａｒｃｃｏｓｘ）

という形をとることがわかる．

［注］多少修正した記号を使う場合もあるので，注意！

　　Ｌ＝ｈ^n／２^n-1

零点は−ｈ＝ｘ1＝ｈｃｏｓ（ｎπ／ｎ），ｘ2＝ｈｃｏｓ（（ｎ−１）π／ｎ），・・・，ｘn+1＝ｈで与えられる．

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【２】チェビシェフ多項式

　ド・モアブルの定理：

　　（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^n＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ

の左辺を２項展開して，両辺の実部，虚部を比較すると

　　ｃｏｓｎθ＝（ｃｏｓθ）^n−nＣ2（ｃｏｓθ）^n-2（ｓｉｎθ）^2＋・・・＝（ｃｏｓθのｎ次多項式）＝Ｔn（ｃｏｓθ）

　　ｓｉｎｎθ＝nＣ1（ｃｏｓθ）^n-1ｓｉｎθ−nＣ3（ｃｏｓθ）^n-3（ｓｉｎθ）^3＋・・・＝ｓｉｎθ×（ｃｏｓθのｎ−１次多項式）＝ｓｉｎθ×Ｕn（ｃｏｓθ）

を得る．

　また，

　　ｃｏｓｎθ＝ｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）−ｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ

　　ｓｉｎｎθ＝ｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）＋ｃｏｓθｓｉｎ（ｎ−１）θ

より，漸化式

　　Ｔn（ｃｏｓθ）＝ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）−（ｓｉｎθ）^2Ｕn-1（ｃｏｓθ）

　　Ｕn（ｃｏｓθ）＝Ｔn-1（ｃｏｓθ）＋ｃｏｓθＵn-1（ｃｏｓθ）

　　Ｔn（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）−Ｔn-2（ｃｏｓθ）

　　Ｕn（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓθＵn-1（ｃｏｓθ）−Ｕn-2（ｃｏｓθ）

ここで，ｃｏｓθ＝ｘの多項式で表すと，チェビシュフ多項式は

　　Ｔn（ｘ）＝２ｘＴn-1（ｘ）−Ｔn-2（ｘ）

　　Ｕn（ｘ）＝２ｘＵn-1（ｘ）−Ｕn-2（ｘ）

が成り立つ．

　第１種チェビシュフ多項式

　　Ｔ0（ｘ）＝１，Ｔ1（ｘ）＝ｘ，Ｔ2（ｘ）＝２ｘ^2−１，Ｔ3（ｘ）＝４ｘ^3−３ｘ，Ｔ4（ｘ）＝８ｘ^4−８ｘ^2＋１，・・・

また，Ｔn（ｘ）＝０の根はｃｏｓ（ｋπ／２ｎ），ｋ＝１，３，５，・・・，２ｎ−１と表される．

　ｓｉｎの場合には番号をひとつずらせて，ｓｉｎ（ｎ＋１）θ／ｓｉｎθを考えると，第２種チェビシュフ多項式

　　Ｕ0（ｘ）＝１，Ｕ1（ｘ）＝２ｘ，Ｕ2（ｘ）＝４ｘ^2−１，Ｕ3（ｘ）＝８ｘ^3−４ｘ，Ｕ4（ｘ）＝１６ｘ^4−１２ｘ^2＋１，・・・

また，Ｕn（ｘ）＝０の根はｃｏｓ（ｋπ／（ｎ＋１）），ｋ＝１，２，３，・・・，ｎと表される．

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【３】チェビシェフ多項式の性質

［１］最良近似

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ｐ1ｘ^n-1＋・・・＋ｐn

　　Ｌ＝ｍａｘ｜ｆ（ｘ）｜

とおく．そのとき，区間［−１，１］上でＬを最小にするのは

　　ｆ（ｘ）＝Ｔn(x)／２^n-1

ただひとつで，Ｌ＝１／２^n-1が成立する．

［２］漸化式

　　Ｔn（ｘ）＝２ｘＴn-1（ｘ）−Ｔn-2（ｘ）

　　Ｕn（ｘ）＝２ｘＵn-1（ｘ）−Ｕn-2（ｘ）

［３］直交性

　　∫(-1,1)Ｔm(x)Ｔn(x)／（１−ｘ^2）^1/2ｄｘ

　＝０　　　　　（ｍ≠ｎ）

　＝π　　　　　（ｍ＝ｎ＝０）

　＝π／２　　　（ｍ＝ｎ≠０）

［４］母関数

　　Ｔ0(x)＋２ΣＴn(x)ｔ^n＝（−ｔ^2＋１）／（ｔ^2−２ｘｔ＋１）

［５］合成

　　Ｔm(Ｔn(x))＝Ｔmn(x)

［６］多項式近似定理（ワイエルシュトラス）

　閉区間［ａ，ｂ］で連続な関数をｆ（ｘ）とする．このとき

　　｜ｆ（ｘ）−ｇ（ｘ）｜＜ε

を満たす多項式ｇ（ｘ）が常に存在し，それはただひとつである．

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