フェルマーは

（Ｑ）与えられた非平方数をｍとし，求めたい平方数をｙ^2で表すとき，ｍｙ^2＋１が平方数になるようにせよ

というペル方程式の問題をイギリスの数学者たちに向けて提示しました．

　フェルマーの挑戦を受けて，ウォリスやブラウンカーたちが解答を試みましたがまだ不十分で，完全な解答に到達するにはオイラーやラグランジュを俟たなければなりませんでした，

　これまではｘ^2−ｍｙ^2＝±１を扱ってきましたが，今回はｘ^2−ｍｙ^2＝±４の場合を考えてみます．

　　［参］細矢治夫，お茶の水大学自然科学報告，第５７巻第２号（２００６）

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【１】基本単数

　ｍ＝１（ｍｏｄ４）のとき，基本単数を

　　ε＝（ａ＋ｂ√ｍ）／２　　　ａ＝ｂ（ｍｏｄ２）

と書けば

　　ａ^2−ｍｂ^2＝±４

となること以外は，ａ^2−ｍｂ^2＝±１と同様です．

　Ｑ（√５），Ｑ（√１３）の基本単数を求めると，それぞれ，

　　ｘ^2−５ｙ^2＝±４，複号は−４で（１，１）が最小→ε＝（１＋√５）／２

　　ｘ^2−１３ｙ^2＝±４，複号は−４で（３，１）が最小→ε＝（３＋√１３）／２

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【２】漸化式

　　　ｘ^2−ｄｙ^2＝４の最小解を（ｘ1，ｙ1），

　　　ｘ^2−ｄｙ^2＝−４の最小解を（ｒ1，ｓ1）

とおくと，漸化式

　　ｃn+2 ＝ｘ1ｃn+1−ｃn　　　（ｃ＝ｘ，ｙ，ｒ，ｓ）

　　ｃn+2 ＝ｒ1ｃn+1＋ｃn　　　（ｃ＝ｔ，ｕ）

が成り立つ．

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【３】チェビシェフ多項式

倍角・半角公式

　　Ｃn（ｘ）＝２Ｔn（ｘ／２）

　　Ｓn（ｘ）＝Ｕn（ｘ／２）

と定義すると

　　ｘn＝Ｃn（ｘ1），ｙn＝ｙ1Ｓn-1（ｘ1）

　　ｔn＝Ｃ~n（ｔ1），ｕn＝ｕ1Ｓ~n-1（ｔ1）

　　ｘn＝Ｃ~2n（ｔ1），ｙn＝ｕ1Ｃ~2n-1（ｔ1）

　　ｒn＝Ｃ~2n-1（ｒ1），ｓn＝ｓ1Ｓ~2n-2（ｒ1）

と表される．

Ｃ0（ｘ）＝２　　　　　　　　 Ｃ~0（ｘ）＝１　　　　　　　　

Ｃ1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　 Ｃ~1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　

Ｃ2（ｘ）＝ｘ^2−２　　　　 Ｃ~2（ｘ）＝ｘ^2＋２ 　　　　

Ｃ3（ｘ）＝ｘ^3−３ｘ　　　 Ｃ~3（ｘ）＝ｘ^3＋３ｘ　 　　

Ｃ4（ｘ）＝ｘ^4−４ｘ^2＋２ Ｃ~4（ｘ）＝ｘ^4＋４ｘ^2＋２

Ｓ0（ｘ）＝１　　　　　　　　 Ｓ~0（ｘ）＝１　　　　　　　

Ｓ1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　 Ｓ~1（ｘ）＝ｘ 　　　　　　　

Ｓ2（ｘ）＝ｘ^2−１　　　　 Ｓ~2（ｘ）＝ｘ^2＋１ 　　　

Ｓ3（ｘ）＝ｘ^3−２ｘ　　　 Ｓ~3（ｘ）＝ｘ^3＋２ｘ 　　

Ｓ4（ｘ）＝ｘ^4−３ｘ^2＋１ Ｓ~4（ｘ）＝ｘ^4＋３ｘ^2＋１

　なお，

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（１−√５）／２

とおくと，フィボナッチ数

　　Ｆn＝１／√５｛α^n+1−β^n+1｝

とリュカ数

　　Ｌn＝α^n＋β^n

に対して，関係式

　　Ｆn+1Ｆn-1−Ｆn^2＝（−１）^n

　　Ｌn+1Ｌn-1−Ｌn^2＝５（−１）^n+1

　　Ｃn（ｉ）＝ｉ^nＬn

　　Ｓn（ｉ）＝ｉ^nＦn

が示される．

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