ｍを平方数でない自然数とすると，いわゆるペル方程式とは

　　ｘ^2−ｍｙ^2＝±１（あるいは±４）

で表されるものです．コラム「連分数展開の応用」ではペル方程式の解法について説明しましたが，ペル方程式の自然数解を求めることはそれほどやさしくはありません．たとえば，

　　ｘ^2−１９９ｙ^2＝±１

の解を求めようと思ってもなかなか見つかりません．それもそのはずで，この最小解は

　　（１６２６６１９６５２０，１１５３０８００９９）

のようにとても大きなものになってしまいます．これではいくら式を眺めたところでわからないのは無理もありません．

　　［参］小野孝「数論序説」裳華房

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【１】ペル方程式の解法

　この解を合理的に出すには，後述するように√１９９の連分数展開

　　√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］

を用います．９〜２８は循環節（周期２０）です．

　このペル方程式は，実２次体Ｑ（√１９９）と関係しているのですが，ｘ^2−ｍ＝０の根√ｍを添加して得られる体Ｑ（√ｍ）の元は一意的に

　　ａ＋ｂ√ｍ

の形で表されます．そして，一般に０，１以外の平方因数をもたない整数ｍ，

　　−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，・・・

によって，Ｑ（√ｍ）は体になります．

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