ゼータ関数には素数の性質が詰まっている

ζ(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+1/4^s+・・・=Π(1-p^-s)^-1

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テータ関数には格子の性質が詰まっている

たとえば六角格子の場合、

1+6q+6q^3+6q^4+12q^7+・・・=θ3(z) θ3(3z)+ θ2(z) θ2(3z)

q=exp(2πiz), θ3=Σqk^2, θ2=Σq(k+1/2)^2

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第１種チェビシェフ多項式は三角関数を用いて

Tn(x)=cosnθ, x=cosθ

第２種チェビシェフ多項式は

Un(x)=sin(n+1)θ/sinθ, x=cosθ

で定義されるが、基本的には倍角公式と考えることができる

チェビシェフ多項式には多面体の性質が詰まっている。たとえば、

第１種チェビシェフ多項式にはcross polytopeの性質が詰まっている

1+3x+5x^2+7x^3+8x^4+8x^5+7x^6+5x^7+3x^8+x^9 =0 ⇔ T3(z)=4z^3-3z=0

第２種チェビシェフ多項式にはregular simplexの性質が詰まっている

1+3x+5x^2+6x^3+5x^4+3x^5+x^6 =0 ⇔ U3(z)=8z^3-4z=0

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