コラム「朝鮮サイコロ・中国サイコロの数理」では，外接球を有する中心対称な多面体をサイコロとして用い場合に各面のでる確率を求めてみた．２種類の面をもつ多面体を対象としますが，正多面体の場合とは違って，サイコロを投げたとき（toss）と転がしたとき（roll）では目のでる確率が異なる．

　tossingは静的で，各面のでる確率はその立体角によって決まってくるので球面三角形を考える問題に帰着される．それに対して，rollingは動的であって，たとえば辺で接地していてその真上に重心がある状態では左半分と右半分のそれぞれの重心の低い方に転がりやすいと考えられるから，物理学的な問題となるのである．計算結果は以下の通りであった．

　切頂立方体（tossing）　　八角形面：三角形面＝0.906684：0.0933161

　切頂立方体（rolling）　　八角形面：三角形面＝0.983874：0.0161255

　立方八面体（tossing）　　四角形面：三角形面＝0.649038：0.350962

　立方八面体（rolling）　　四角形面：三角形面＝0.762392：0.237608

　切頂八面体（tossing）　　四角形面：六角形面＝0.212643：0.787357

　切頂八面体（rolling）　　四角形面：六角形面＝0.0941103：0.90589

　朝鮮サイコロ（tossing）　四角形面：六角形面＝0.406665：0.593335

　朝鮮サイコロ（rolling）　四角形面：六角形面＝0.302534：0.697466

　切頂１２面体（tossing）　　十角形面：三角形面＝0.8751：0.1249

　切頂１２面体（rolling）　　十角形面：三角形面＝0.975902：0.0240984

　１２・２０面体（tossing）　　五角形面：三角形面＝0.713749：0.286245

　１２・２０面体（rolling）　　五角形面：三角形面＝0.856054：0.143946

　切頂２０面体（tossing）　　五角形面：六角形面＝0.31379：0.68621

　切頂２０面体（rolling）　　五角形面：六角形面＝0.229493：0.770507

　双心切頂２０面体（tossing）　五角形面：六角形面＝0.162779：0.837221

　双心切頂２０面体（rolling）　五角形面：六角形面＝0.067601：0.93024

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【１】切頂正２０面体群の確率比較

　切頂正２０面体群に対して，ｔ＝１／２とおくと

　１２・２０面体（tossing）　　五角形面：三角形面＝0.713749：0.286245

　１２・２０面体（rolling）　　五角形面：三角形面＝0.856054：0.143946

　ｔ＝１／３とおくと

　切頂２０面体（tossing）　　五角形面：六角形面＝0.31379：0.68621

　切頂２０面体（rolling）　　五角形面：六角形面＝0.229493：0.770507

　ｔ＝(7-√5-2√(10+2√5)/3))/(6-2√5)＝0.242947とおくと

　双心切頂２０面体（tossing）　五角形面：六角形面＝0.162779：0.837221

　双心切頂２０面体（rolling）　五角形面：六角形面＝0.067601：0.93024

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　切頂正１２面体群に対しても同様の式を立てて計算すると，ｔ＝１／３で

　切頂１２面体（tossing）　　十角形面：三角形面＝0.8751：0.1249

　切頂１２面体（rolling）　　十角形面：三角形面＝0.975902：0.0240984

　ｔ＝１／２で

　１２・２０面体（tossing）　　五角形面：三角形面＝0.713754：0.286246

　１２・２０面体（rolling）　　五角形面：三角形面＝0.856049：0.143951

が得られました．

　サイコロを転がすと勢いがつくので小さな面がでる確率は低くなります．たとえば，朝鮮サイコロではtossingでは約４：６，rollingでは約３：７となるのですが，２種類の面をもつこれらの多面体では小さい面がでる確率は１０％程度低くなることがわかります．

　切頂正１２面体群では切断面が正三角形となりますから，その分tossingの確率計算は易しくなります．また，１２・２０面体に対しては２つの異なる方法で計算して値が（誤差を除いて）一致したわけですから，ここに掲げた計算結果が正しいことを裏付けてくれます．

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【２】切頂正２０面体群の確率比較（その２）

　　［参］ソートイ「数字の国のミステリー」新潮社

に，サッカーボール型サイコロでは，五角形が底になる確率が１．９８％，六角形が底になる確率が３．８１％とある．

　　１９．８×１２＋３．８１×２０＝１００

　五角形が底になる確率は，

　　１２×（−３＋３０ｒ（１−２／πａｒｃｓｉｎ（１／２ｒ√３））／（−１１６＋３６０ｒ）

　　ｒ＝１／２（２＋ｓｉｎ^2π／５）^-1/2

で与えられるという．

　ｔ＝１／３とおくと

　切頂２０面体（tossing）　　五角形面：六角形面＝0.31379：0.68621

　切頂２０面体（rolling）　　五角形面：六角形面＝0.229493：0.770507

であるから，

　切頂２０面体（tossing）　　五角形面：六角形面＝2.6149166：3.43105

　切頂２０面体（rolling）　　五角形面：六角形面＝1.9124416：3.852535

となって，これは（多少の誤差はあるが）rollingの場合の確率を示しているものと思われる．

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