６（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）

＝（ａ＋ｂ）^2＋（ａ−ｂ）^2＋（ｃ＋ｄ）^2＋（ｃ−ｄ）^2

＋（ａ＋ｃ）^2＋（ａ−ｃ）^2＋（ｂ＋ｄ）^2＋（ｂ−ｄ）^2

＋（ａ＋ｄ）^2＋（ａ−ｄ）^2＋（ｂ＋ｃ）^2＋（ｂ−ｃ）^2

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任意の整数ｍはａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2の形に表されるから，６ｍは１２個の平方数の和として表すことができる．

任意の整数はｎ＝６ｑ＋ｒ，０≦ｒ≦５という形に表される．ｑ＝ｍ1^2＋ｍ2^2＋ｍ3^2＋ｍ4^2であるから，６ｑは４８個の平方数の和として表すことができる．

ｒはｒ＝３のとき，

１＝１^2

２＝１^2＋１^2

３＝１^2＋１^2＋１^2

４＝２^2

５＝２^2＋１^2であるから，ｇ（２）≦５１

・・・しかし，この記述は無意味である．ｑ＝ｍ1^2＋ｍ2^2＋ｍ3^2＋ｍ4^2であるからである．

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