［Ｑ］６を平方数の和に表す方法は何通りあるか？

［Ａ］１＋１＋１＋１＋１＋１，１＋１＋４の２通り

と答えるのが普通であろう．しかし，・・・

［Ｑ］６を２４個の平方数の和に表す方法は何通りあるか？

［Ａ］ｒ24（６）＝８６６２７７０

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　ｒk（ｎ）をｋ個の平方数の和としてｎを表す方法の個数とする．ただし，

　４＝（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2　　　１６通り

　４＝（±２）^2＋０^2＋０^2＋０^2　　　　　　　　　　　　＋８通り

のように，０^2を許容し，さらに，ａ^2と（−ａ）^2を異なる方法として数える．また，順序が異なるもの（ａ^2＋ｂ^2とｂ^2＋ａ^2）を区別して数えることにすると，モジュラー形式の理論を用いることができる．

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［１］モジュラー形式

　ｚが上半平面上を動く変数であるとき，

　　ｑ（ｚ）＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

は原点を中心として半径１の単位円板から原点を除いた穴あき単位円板上を動く．

　ｅｘｐ（−ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

　ｅｘｐ（−πｉ）＝−１

　ｅｘｐ（−２ππ）＝１

より

　　ｑ（ｚ＋１）＝ｑ（ｚ）

すなわち，周期１をもつという性質がある．

　さらに，

　　ａ0＋ａ1ｑ＋ａ2ｑ^2＋・・・＋ａnｑ^n＋・・・

　　ａ-mｑ^ｰm＋・・・＋ａ-1ｑ^ｰ1＋ａ0＋ａ1ｑ＋ａ2ｑ^2＋・・・＋ａnｑ^n＋・・・

は，周期１をもつ上半平面上の関数である．

　ｆ（ｚ）がｙ→∞のとき，良い振る舞いをすると仮定すると

　　ｆ（ｚ）＝ａ0＋ａ1ｑ＋ａ2ｑ^2＋・・・＋ａnｑ^n＋・・・

　　ｆ（ｚ＋１）＝ｆ（ｚ）

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