［４］アルゴリズムの破綻

　（その１０）の［１］［２］［３］はそれぞれ２元，３元，４元の２次形式の問題なので，ｎ次元空間における格子点の配置の問題として幾何学的に考えることができます．すなわち，ラグランジュの定理は４次元空間内の原点を中心とする半径√ｎの球面には必ず格子点があることを主張しているわけです．半径√ｎの２次元の円，３次元の球には格子点が存在するとは限らないのです．

　（その１０）の数値実験では，実際に４個必要なのは７だけで，他はすべて３個以下の平方数の和で書けていました．どの場合に２つで済むのか，３つで済むのか？という問題は，ラグランジュの定理に先行するフェルマー・オイラーの定理，ガウス・ルジャンドルの定理で解決されています．

　また，ｎを越えない最大の平方数は，ガウス記号を用いて［√ｎ］^2と表せるのですが，ｎを越えない最大の平方数をとり，その残りに対して同様に最大の平方数をとる，・・・，そして残りが平方数になるとおしまいというアルゴリズムによって，４個の平方数の和

　　ｎ＝ｎ1^2＋ｎ2^2＋ｎ3^2＋ｎ4^2

に分解できるように思われます．はたして，これは正しいのでしょうか？　数値実験を続けてみることにします．

　　１１＝３^2＋１^2＋１^2

　　１２＝３^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　１３＝３^2＋２^2

　　１４＝３^2＋２^2＋１^2

　　１５＝３^2＋２^2＋１^2＋１^2

　　１６＝４^2

　　１７＝４^2＋１^2

　　１８＝４^2＋１^2＋１^2

　　１９＝４^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　２０＝４^2＋２^2

　　２１＝４^2＋２^2＋１^2

　　２２＝４^2＋２^2＋１^2＋１^2

　　２３＝４^2＋２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　素数２３では５個の平方和となり，このアルゴリズムは２３で破綻してしまいます．もちろん，２３は８ｎ＋７型の素数ですから，３個の平方和では表すことはできませんが，

　　２３＝３^2＋３^2＋２^2＋１^2

のように４個の平方和の形に表すことができます．

　また，

　　１２＝３^2＋１^2＋１^2＋１^2＝２^2＋２^2＋２^2

　　１８＝４^2＋１^2＋１^2＝３^2＋３^2

　　１９＝４^2＋１^2＋１^2＋１^2＝３^2＋３^2＋１^2

　　２３＝４^2＋２^2＋１^2＋１^2＋１^2＝３^2＋３^2＋２^2＋１^2

のように，より少ない数の平方和として幾通りかに表すことのできる数もあります．

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