【２】４平方和定理の拡張

　何種類かの４変数２次形式，たとえば，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｗ^2　　　（ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）

はすべての正の整数を表現することができます．

（証明）ある数を表現しないと仮定すると，３平方和定理によりその数は８ｋ＋７の形でなければなりません．そのような数から，

　　ｍｗ^2　　（ｗ＝１，１，２，１，１，１，２）

を引くと，それぞれ８ｋ＋６，８ｋ＋５，８ｋ＋３，８ｋ＋３，８ｋ＋２，８ｋ＋１，８ｋ＋３の形の数となり，これらはすべてｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2の形に表現されます．

　なお，変数の数を任意とする正定値２次形式（たとえば，ａ^2＋２ｂ^2＋５ｃ^2＋５ｄ^2＋１５ｅ^2）が

　　１，２，３，５，６，７，１０，１４，１５

の１５までのなかでこれら９つの数を表現するならば，その２次形式はすべての正整数を表現することが知られています．この定理はルジャンドルの４平方和定理も内包しています．

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