4ｎ+1型素数である5と13について、

５＾2＝３^2＋４^2

１３＾2＝５^2＋１２^2

前者に１３^2、後者に５^2をかけると

６５＾2＝３９^2＋５２^2

６５＾2＝２５^2＋６０^2

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2つの平方数の和の積が再び2つの平方数の和であることは

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

で示される。

５＝１^2＋２^2

１３＝２^2＋３^2

より,

a＝１、ｂ＝2、ｃ＝2、ｄ＝3とおくと

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

は

６５＝８^2＋１^2

６５＝４^2＋７^2

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再び、

a＝８、ｂ＝１、ｃ＝４、ｄ＝７とおくと

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

は

６５＾2＝３９^2＋５２^2

６５＾2＝２５^2＋６０^2

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