１１０５＝５・１３・１７

は４ｎ＋１型素数のはじめの３素数の積である．特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，

　　５＝１^2＋２^2，

　　１３＝２^2＋３^2，

　　１７＝１^2＋４^2，

　　２９＝２^2＋５^2

しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．

　また，フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）

＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

＝（ａｃ＋ｂｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

は簡単に確認できます．

　この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も２通りの平方数で表されることを示していて，複素数と２平方和問題との関連を示しています．

　　２２１＝１０^2＋１１^2＝５^2＋１４^2

　　５０＝１^2＋７^2＝５^2＋５^2

　　６５＝８^2＋１^2＝４^2＋７^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　１１０５＝５・１３・１７

は４ｎ＋１型素数のはじめの３素数の積です．このことから，１１０５は２つの平方数の和で４通りに表せることになるのです．

　１１０５＝（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）（ｅ^2＋ｆ^2）

　１７＝１^2＋４^2

　１１０５＝（８^2＋１^2）（１^2＋４^2）＝４^2＋３３^2＝１２^2＋３１^2

　１１０５＝（４^2＋７^2）（１^2＋４^2）＝２４^2＋２３^2＝３２^2＋９^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝