pを奇素数とする。

ｐ＝ｘ^2＋ｍｙ^2＝（ｘ+√(-m)ｙ）（ｘ-√(-m)ｙ）　　（x,yは整数）

となる因数分解が存在するための条件について考える。

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素数ｐがｘ^2＋ｎｙ^2の形に表せるという問題は，虚２次体Ｑ（√−ｎ）のイデアル類群が深い関係にあることを示唆しています．

　　４ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋３型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　３ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋３ｙ^2の形に表すことができる．

　　７ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋７ｙ^2の形に表すことができる．

　　７ｎ＋２型素数は，ｘ^2＋７ｙ^2の形に表すことができる．

　　７ｎ＋４型素数は，ｘ^2＋７ｙ^2の形に表すことができる．

はそれぞれ虚２次体Ｑ（√−１），Ｑ（√−２），Ｑ（√−３），Ｑ（√−７）の類数が１であることが本質的なのです．

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