pを奇素数とする。

ｐ＝ｘ^2＋ｍｙ^2＝（ｘ+√(-m)ｙ）（ｘ-√(-m)ｙ）　　（x,yは整数）

となる因数分解が存在するための条件について考える。

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【６】ガウスの整数環（４）

４で割って1余る素数は，複素数（ガウスの整数環）

Ｚ［ｉ］＝｛ｍ＋ｎｉ｜ｍ，ｎは整数｝

に範囲を広げると素数であり続けることはできず，分解されてしまい，それによって

ｐ＝ｘ^2+ｙ^2

の形にかけるのですが，

Ｚ［√-２］＝｛ｍ＋ｎ√-２｜ｍ，ｎは整数｝

では，８で割って1または３余る素数は分解されてしまい，それによって

ｐ＝ｘ^2+２ｙ^2

の形にかけることが証明できます．

　フェルマーは平方数と平方数の倍数の和として表される素数，すなわち

　　ｘ^2+ｍｙ^2＝ｐ

に一定の規則性を発見しました．

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