すべての自然数ｎに対して，ディオファントス方程式

　　ｎ＝ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2＋ｘ4^2

は解をもつがｎ＝ｎ1，ｎ＝ｎ2に対して正しいならばｎ＝ｎ1ｎ2に対しても正しいので，奇素数ｐの対して

　　ｐ＝ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2＋ｘ4^2

は少なくとも１個の解をもつを証明すれば十分である．

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［１］１≦ｑ＜ｐなる自然数ｑが存在して

　　ｐｑ＝ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2＋ｘ4^2

が解をもつことを示す．

ｘ1が０，１，２，・・・，（ｐ−１）／２の（ｐ＋１）／２個の整数上を動くとする．

ｘ1＝０，１^2，２^2，・・・，（ｐ−１）^2／４

これらの値は２つずつｍｏｄｐで非合同である．なぜなら

ａ^2＝ｂ^2　　（ｍｏｄｐ）

０≦ａ≦（ｐ−１）／２，０≦ｂ≦（ｐ−１）／２とすると

ａ^2−ｂ^2＝（ａ＋ｂ）（ａーｂ）＝０　　（ｍｏｄｐ）

０≦ａ＋ｂ≦（ｐ−１），−（ｐ−１）／２≦ｘａ−ｂ≦（ｐ−１）／２

より，ａ＝ｂに対してのみ成り立つ．

ｘ2が０，１，２，・・・，（ｐ−１）／２の（ｐ＋１）／２個の整数上を動くとする．

−ｘ2^2−１＝−０^2−１，−１^2−１，−２^2−１，・・・，−（ｐ−１）^2／４−１

これらの値も２つずつｍｏｄｐで非合同である．

よって，ｐ＋１個の数ｘ1^2，−ｘ2^2−１の中に少なくとも１個のｍｏｄｐで合同な組が存在して，

　　ｘ1^2＝−ｘ2^2−１　　（ｍｏｄｐ）

　　ｘ1^2＋ｘ2^2＋１^2＋０^2＝０　　（ｍｏｄｐ）

よって，

　　ｘ1^2＋ｘ2^2＋１^2＋０^2＝ｐｑ

を満たすｑが存在する．

　　ｘ1^2＋ｘ2^2＋１^2＋０^2＜３（ｐ／２）^2

より，１≦ｑ＜ｐ．

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［２］オイラーの恒等式をｘ，ｕに対して適用すると

　　ｘi＝ｕi　　（ｍｏｄｑ）

また，ｒ1＝ｐｑ＝０，ｒ2＝ｒ3＝ｒ4　　（ｍｏｄｑ）が従う．

ｒi＝ｑｚi　　ｚi：整数

ｕ1^2＋ｕ2^2＋ｕ3^2＋ｕ4^2＝ｗｑ

ｐｑ・ｗｑ＝ｑ^2（ｚ1^2＋ｚ2^2＋ｚ3^2＋ｚ4^2）

よって，

ｚ1^2＋ｚ2^2＋ｚ3^2＋ｚ4^2＝ｗｐ，ｗ≦ｑ

等号はｕ1＝ｕ2＝ｕ3＝ｕ4＝ｑ／２のときのみ成り立つが，そのときｘ1，ｘ2，ｘ3，ｘ4も共通約数をもつことになり，ｑ＝２．

ｕ1＝ｕ2＝ｕ3＝ｕ4＝１　　（ｍｏｄｑ）

　ｘi＝ｕi　　（ｍｏｄｑ）より，ずべてのｘiは奇数→

　　ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2＋ｘ4^2＝０　　（ｍｏｄ４）

　　ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝ｘ4＝０　　（ｍｏｄｑ）

　　ｘiの共通約数＝１→ｑ＝１

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