［１］ラグランジュの定理（４平方和定理）

　任意の整数は４つの平方数の和で表される．

　ｎ＝□＋□＋□＋□

［２］ｎ＝□1＋□2＋□3＋・・・＋□k

　正負もしくは０のすべての整数を許すときの解の数をＲk（ｎ），正の奇数だけを許すときの解の数をＳk（ｎ）と書くことにする．Ｒk（ｎ）は半径√ｎ，中心が原点のｋ次元球面上にある格子点の数である．

　ここでは［２］について調べてみるが，たとえば，２５＝ｘ^2＋ｙ^2には１２組の解がある．

　　（±５，０），（０，±５），（±４，±３），（±３，±４）

　　Ｒ2（２５）＝１２

　ｐが奇素数のとき，

［１］ｐ＝１　（ｍｏｄ４）→Ｒ2（ｐ）＝８，Ｒ2（ｐ^2）＝１２

［２］ｐ＝３　（ｍｏｄ４）→Ｒ2（ｐ）＝０，Ｒ2（ｐ^2）＝０

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　正の奇数だけに限ると

　　１＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2には１組の解（１，１，１，１）→Ｓ4（１）＝１

　　１１＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2には３組の解→Ｓ4（１１）＝３

　　１２＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2には４組の解（３，１，１，１），（１，３，１，１），（１，１，３，１），（１，１，１，３）→Ｓ4（１２）＝４

　　１００＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2には３１組の解がある．

（９，３，３，１）→１２通り

（７，７，１，１）→６通り

（７，５，５，１）→１２通り

（５，５，５，５）→１通り→Ｓ4（１００）＝３１

　一般に，４ｕ＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2において，ｕが奇数であれば

　　Ｓ4（４ｕ）＝σ（ｕ），すなわち，ｕの約数の和

　　Ｓ4（４（２ｎ−１））＝σ（２ｎ−１）

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