調和級数

　　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・

は，はじめの１０００項で７．４８５，１００万項で１４．３９３，１０億項で２１．３，１兆項で２８．２と非常にゆっくりとですが大きくなり，ついには無限大に発散します．調和級数が発散することは次のようにして容易に示すことができます．

１／３＋１／４＞１／４＋１／４＝１／２

１／５＋１／６＋１／７＋１／８＞１／８＋１／８＋１／８＋１／８＝１／２

・・・・・

したがって，

（調和級数）＞１＋１／２＋１／２＋１／２＋１／２＋・・・→∞

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　素数が無限に存在すること・√２が無理数であることは，ギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明していますが，その証明はだれしもが容易に理解できるものです．同様に，調和級数Σ（１／ｎ）が無限大に発散すること

　　１／１＋１／２＋１／３＋・・・＝∞

も容易に示すことができました．

　それでは，素数の逆数の和

　　Σ（１／ｐ）＝１／２＋１／３＋１／５＋１／７＋１／１１＋・・・

は有限でしょうか？

（証明）

　調和級数１／１＋１／２＋１／３＋・・・は，オイラー積表示すると

　　Π（１−１／ｐ）^-1

と書けますから，

　　Π（１−１／ｐ）^-1〜∞．

　また，ｌｏｇΠ（１−１／ｐ）＝Σｌｏｇ（１−１／ｐ）．１／ｐが非常に小さいとき，マクローリン展開より，Σｌｏｇ（１−１／ｐ）〜−Σ（１／ｐ）ですから，Σ（１／ｐ）＝∞になります．したがって，すべての素数の逆数の和は発散することが示されます．

　調和級数Σ（１／ｎ）は発散し，また，オイラー級数Σ１／ｎ^2＝π^2／６で収束しますから，素数は平方数ほどまばらには分布していないことがわかります．

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