調和級数Σ（１／ｎ）が無限大に発散すること

　　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋１／６＋１／７＋１／８＋・・・＝∞

は容易に示すことができます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】オレームの証明

　　１／３＋１／４＞１／４＋１／４＝１／２

　　１／５＋１／６＋１／７＋１／８＞１／８＋１／８＋１／８＋１／８＝１／２

　したがって，

　　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋１／６＋１／７＋１／８＋・・・

＝１／１＋１／２＋（１／３＋１／４）＋（１／５＋１／６＋１／７＋１／８）＋・・・

＝１＋１／２＋１／２＋１／２＋・・・＝∞

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】メルカトール級数（調和級数の交代級数）

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−ｘ^2／２＋ｘ^3／３−ｘ^4／４＋・・・

に１を代入すると

　　１／１−１／２＋１／３−１／４＋１／５−１／６＋１／７−１／８＋・・・＝ｌｏｇ２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝