【１】３平方和の定理（ルジャンドル，１７９８年）

　　「正整数ｎが３つの平方数の和として表せる←→４^m（８ｋ＋７）の形をした数ではない．」

　ｎ≠４^m（８ｋ＋７）はｎが高々３個の平方数で表されるための必要十分条件です．ガウスの定理ともルジャンドルの定理とも呼ばれますが，ルジャンドルは２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，より一般的な３元２次形式論としてこの結果を得ています．

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　何種類かの４変数２次形式，たとえば，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｗ^2　　　（ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）

はすべての正の整数を表現することができます．

（証明）ある数を表現しないと仮定すると，３平方和定理によりその数は８ｋ＋７の形でなければなりません．そのような数から，

　　ｍｗ^2　　（ｗ＝１，１，２，１，１，１，２）

　　　　　　　（ｍｗ^2＝１，２，１２，４，５，６，２８）

を引くと，それぞれ８ｋ＋６，８ｋ＋５，８ｋ＋３，８ｋ＋３，８ｋ＋２，８ｋ＋１，８ｋ＋３の形の数となり，これらはすべてｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2の形に表現されます．

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［雑感］ここから，ラマヌジャンの５４通りのリストまでは，もっていけないものと思われる．

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