（ａ1＋ａ2＋・・・＋ａn）／ｎ≧（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n

は算術平均・幾何平均不等式であるが，ここでは，

　　Σａn＝ａ1＋ａ2＋ａ3＋・・・＋ａn＋・・・

　　Σ（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n＝ａ1＋（ａ1ａ2）^1/2＋（ａ1ａ2ａ3）^1/3＋・・・＋（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n＋・・・

について考えることにする．

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　　Σ（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n＜ｅΣａn

（証）ｃ1，ｃ2，ｃ3・・・はｃ1ｃ2・・・ｃn＝（ｎ＋１）^nを満たすものとする．

Σ（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n＝（ａ1ｃ1ａ2ｃ2・・・ａnｃn）^1/n／（ｎ＋１）≦Σ（ａ1ｃ1＋ａ2ｃ2＋・・・＋ａnｃn）／ｎ（ｎ＋１）

＝ΣａkｃkΣ１／ｎ（ｎ＋１）

＝ΣａkｃkΣ（１／ｎ−１／（ｎ＋１））

＝Σａk（ｋ＋１）^k／ｋ^k

＜ｅΣａn

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　ｃnの定義が天下り式に思われるが，算術平均・幾何平均不等式より，

Σ（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n≦Σ（ａ1＋ａ2＋ａ3＋・・・＋ａn）／ｎ

＝ΣａkΣ１／ｎ

とするのではΣ１／ｎは発散してしまう．

　そこで，

　　ｃ1ｃ2・・・ｃn＝（ｎ＋１）^n

　　ｃ1ｃ2・・・ｃn-1＝ｎ^n-1

　　ｃn＝（ｎ＋１）^n／ｎ^n-1＝（１＋１／ｎ）^nｎ〜ｅｎ

としたのである．

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