【１】ねじれ準正多面体の生成（その１）

　準正多面体の中で，最も例外的なものは２つのねじれ図形（ねじれ立方体とねじれ十二面体）である．ねじれ立方体は立方体を枠組みとして，正方形面が立方体の面上にあるようにして生成することができる．ねじれ十二体は正十二面体を枠組みとして，正五角形が正十二面体の面上にあるようにして生成することができる．

［補］この方程式は整数係数の３次方程式に帰着される．ゆえに，ねじれ準正多面体は定規とコンパスで作図可能ではない．

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【２】ねじれ準正多面体の生成（その２）

　三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次内分した点Ｄ，Ｅ，Ｆとし，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作る三角形ＰＱＲを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにする．正三角形の縮小三角形は正三角形である．

［１］正二十面体（３，３，３，３，３）は，正四面体の縮小三角形（λ＝１．６１８，黄金比）から生成される（ねじれ角：２２．２３８°）．

［２］ねじれ立方体（３，３，３，３，４）は，正八四面体の縮小三角形（λ＝１．８３９）から生成される（ねじれ角：２０．３１５°）．

［３］ねじれ十二面体（３，３，３，３，５）は，正二十面体の縮小三角形（λ＝１．９４３）から生成される（ねじれ角：１９．５１７°）．

　それそれ（３，３，３，３，ｑ）とすると，λは

　　λ^3−　λ^2−λ−１−２ｃｏｓ（２π／ｑ）＝０

の根として計算できる．

［１］ｑ＝３　→　λ^2−λ−１＝０

［２］ｑ＝４　→　λ^3−λ^2−λ−１＝０

［３］ｑ＝５　→　λ^3−λ^2−λ−φ＝０

　ねじれ角は

　　ｔａｎθ＝√３／（１＋２λ）

で与えられる．

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ねじれ立方体の場合、λ＝1.839　（トリボナッチ定数）

　　１／３｛3√（１９＋３√３３）＋3√（１９−３√３３）＋１｝＝１．８３９・・・

0,0,1,1,2,4,7,13,24,44,・・・

この3根の積は1である。

(t,1/t,1)の巡回置換の形で頂点の座標が与えられる。

3！x8=48の組み合わせがあるが、

左手系と右手系があるから、その頂点数は24となる。

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6枚の正方形の頂点は

[(t,1,1/t),(t,-1/t,1),(t,-1,-1/t),(t,1/t,-1)]

[(-t,1/t,1),(-t,-1,1/t),(-t,-1/t,-1),(-t,1,-1/t)]

[(1/t,t,1),(1,t,-1/t),(-1/t,t,-1),(-1,t,1/t)]

[(1,-t,1/t),(1/t,-t,-1),(-1,-t,-1/t),(-1/t,-t,1)]

[(1,1/t,t),(-1/t,1,t),(-1,t,-1/t,t),(1/t,-1,t)]

[(1/t,1,-t),(-1,1/t,-t),(-1/t,-1,-t),(1,-1/t,-t)]

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切頂面は(t,1,1/t)の巡回置換 (t,1,1/t),(1/t,t,1),(1,1/t,t)

で与えられる

arccos(√2/√3)=35.2644

tanθ=√3/(1+2t), θ=20.315

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